Анализ риска для инвестиционных программ

В результате использования правила максимизации ожидаемых доходов (или минимизации ожидаемых возможных потерь) мы получаем оценку для каждого исхода в виде таблицы доходов, чтобы выбрать наилучшее решение. В такой таблице приводится разброс доходов для каждого варианта исхода. Анализ этого разброса дает возможность оценить риск каждого решения. Альтернатив­ный подход к оценке риска заключается в вычислении стандартного отклонения доходов, как это делается для любого другого вида распределений. Именно та­ким образом часто сравнивают варианты инвестиций.

Нередко перед компанией возникает задача предстоящего инвестирования, связанная с получением банковского кредита или других заемных средств с потребностью в определении периода кредитования и окупаемости инвестиций и соответствующей стратегии. Несомненно, компания подвергается риску недостаточной рентабельности вкладываемого капитала и несвоевременности возврата заемных средств в условиях неопределенности, которые побуждают предпринимателя к составлению альтернативных программ. Следовательно, ожидаемых результатов здесь может быть несколько, каждый из которых имеет разную вероятность и требует тщательного анализа.

Следует также иметь в виду, что неопределенность усиливается инфляционными процессами, необходимо учесть, что если компания не получит ожи­даемого размера прибыли и своевременно не погасит кредит, то сумма по процентам за его использование может непомерно возрасти, усложнив взаимоотношения с кредиторами.

Поскольку при составлении математической модели в условиях неопреде­ленности мы не располагаем точной информацией о будущем движении денежных средств, то мы будем опираться на прогнозы, когда планируемые величины принимают форму вероятностей.

Рассмотрим оценку риска для инвестиционных программ на примере сравнительного анализа двух вариантов инвестиций. Для оценок ожидаемых доходов, как и в предыдущем примере с закупками пирожных, используется матема­тическое ожидание, однако между этими решениями существует значительная разница. Решение, принятое для закупки пирожных, остается неизменным изо дня в день (если только не появились новые данные наблюдений частот возможных исходов), и идея ожидаемых (средних) доходов проста для понимания. Тогда как решение об инвестициях принимается лишь однажды, что затрудняет понимание значения ожидаемых доходов на практике.

Пример. Фирма "Каскад" оценивает риск, связанный с двумя вариантами инвестиций. В таблице приведены возможные чистые доходы и их вероятности для этих двух вариантов вложений

Для оценки вариантов решений рассчитываем математическое ожидание прибыли для каждого варианта инвестиций.

Инвестиция 1:

Инвестиция 2:

Если принимать во внимание только ожидаемую прибыль, то инвестиция 1, безусловно, лучше. Если бы решение об инвестициях принималось много раз при одних и тех же условиях, то тогда прибыль в среднем составляла бы $1200. Однако такое правило принятия решений не учитывает риск, связанный с инве­стициями, то есть "разброс" возможных исходов. Этот риск может быть определен с помощью дисперсии и стандартного отклонения прибыли.

Как известно, дисперсия определяется через математическое ожидание М(х) по формуле

где f_i - прибыль на инвестиции;

р_i - вероятность получения данной прибыли.

Расчет средней прибыли и дисперсии для двух вариантов инвестиций помещены в таблицу

Инвестиция 1:

Дисперсия = 3,0-1,22= 1,56. Следовательно, стандартное отклонение прибыли

Инвестиция 2:

Дисперсия = 6,9-1,12= 5,69. Следовательно, стандартное отклонение прибыли

Риск для варианта инвестиции 1 меньше, так как дисперсия прибыли намного меньше, чем для инвестиции 2.

Таким образом, и большая ожидаемая прибыль и меньший риск (разброс) говорит в пользу варианта инвестиции 1.

Основные понятия теории вероятностей и математическая статистика

Введение.

Теория вероятностей - математическая дисциплина, изучающая закономерности случайных процессов и явлений (или событий).

Случайный процесс или явление - это процесс или явление, которые в разные моменты времени происходят по-разному.

К случайным процессам или явлениям, опытам относятся:

· однократное бросание одной монеты;

· бросание монеты 100 раз;

· сдача колоды карт;

· сопоставление двух колод;

· игра в рулетку;

· наблюдение продолжительности жизни радиоактивного атома или человека;

· выбор некоторой случайной группы людей и подсчет среди них числа левшей;

· скрещивание двух сортов растений и наблюдение фенотипов;

· определение числа занятых линий на телефонной станции или числа телефонных вызовов за определенный промежуток времени;

· случайные шумы в электрических системах;

· выборочный контроль качества промышленной продукции;

· пол новорожденного;

· положение частицы при диффузии.

Вот эти и подобные им явления и процессы изучает теория вероятностей и математическая статистика.

Может возникнуть вопрос, почему это преподаватель из 14 приведенных примеров случайных событий и процессов 6 выбрал, относящихся к азартным играм. Наверное, игрок. Нет, я не особенно интересуюсь азартными играми. Вопрос состоит в том, что исторически теория вероятности возникла из попыток осмыслить, дать математическое описание азартным играм. Поэтому в книгах по теории вероятностей много примеров из азартных игр. И мы постоянно будем сталкиваться с азартными играми, особенно в первоначальный период обучения.

Изучение теории вероятностей зачастую вызывает некоторые трудности. Самая большая трудность - преодоление детерминизма в мышлении. Нам же все время в школе твердили, что если из пункта А вышел пароход, то он обязательно придет в пункт Б и обязательно через 6 часов. В теории вероятностей изучается такой случай, что пароход в пункт Б может и не прийти, т.к. его может застать буря, он может выйти из строя и т.д. И вот, когда мы начинаем говорить о таких закономерностях, о закономерностях случайных событий, мы зачастую никак не можем отрешиться о внушенном нам детерминизме в изучении явлений.

Приведу еще один пример. На меня он произвел в свое время большое впечатление именно обнаженностью противоречий между детерминированным и статистическим подходом к изучению одного и того же явления. Невозможно безошибочно предсказать продолжительность существования какого-либо атома или время жизни какого-либо человека. Однако для научных целей выгодно считать эти величины точными числами. Но при этом возникает вопрос, какие числа могут, и какие не могут представлять продолжительность жизни человека? Существует ли максимальный возраст, сверх которого жизнь невозможна, или для возраста возможны любые значения? Мы, конечно, не решимся допустить, что человек может дожить до 1000 лет, и, тем не менее, обычная практика страхового дела, которая основана на статистических, вероятностных подходах, не принимает даже такой границы для длительности жизни. В соответствии с формулами, на которых основаны современные таблицы смертности, доля людей, доживающих до 1000 лет, имеет величину порядка , число, записывающееся миллиардами знаков. Это утверждение лишено смысла с точки зрения биологии или социологии, основанных на детерминированном подходе, но если его рассматривать с точки зрения теории вероятностей, то оно не противоречит опыту. В течении столетия рождается людей, и чтобы опровергнуть вышеуказанное утверждение статистики, потребовалось бы более чем столетий, что превышает возраст земного шара более чем в раз.

Очевидно, столь исключительно малые вероятности совместимы с нашим понятием невозможности. Можно было бы подумать, что их употребление является полным абсурдом. В действительности оно совершенно безвредно и приводит к упрощению многих формул. Кроме того, если бы мы решили всерьез исключить возможность дожить до 1000 лет, то мы бы столкнулись с еще большими трудностями, ибо мы должны бы допустить существование предельного возраста. А, право же, предположение, что можно дожить до 115 лет, но нельзя дожить до 115 лет и 2 секунды, нисколько не привлекательнее, чем представление об отсутствии границы для продолжительности жизни. На этом примере мы столкнулись с очень серьезным противоречием в подходе к изучению одного и того же явления - детерминированным и статистическим.

Профессор Яков Михайлович Хургин.

С такими противоречиями мы будем встречаться постоянно при изучении курса теории вероятностей и математической статистики.

Основные понятия. Непосредственный подсчет вероятностей.

Каждая наука, развивающая общую теорию какого - либо круга явлений, содержит ряд основных явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.

Под "событием" в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти.

Приведем несколько примеров событий:

A – появление герба при бросании монеты;

B – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

C – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при вынимании карты из колоды;

E – выход из строя телевизора в 1-ый год его эксплуатации;

F – обрыв нити в течении часа работы ткацкого станка.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой то степенью возможности: одно – большей, другое – меньшей, причем для некоторых из этих событий мы сразу же интуитивно можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например, сразу видно, что событие A более возможно, чем событие B и D. Относительно событий C, E, F аналогичных выводов сразу сделать нельзя, для этого следовало бы уточнить условия опыта или провести эксперимент для изучения событий. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события.

Таким образом, мы ввели в рассмотрение второе основное понятие теории вероятностей - понятия вероятности события.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Заметим, что уже при самом введении понятия вероятности события мы связываем с этим понятием определенный практический смысл. На основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще. Менее вероятными - те, которые происходят реже. Маловероятными – те, которые почти никогда не происходят. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным практическим понятием.

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти.

Например:

А – наступление сегодня ночи в г. Евпатории.

Вероятность этого события:

Другой пример достоверного события – выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т.е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти. Пример невозможного события:

A – появление 12 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность равную нулю, т.е.

Таким образом, установлены единица измерения вероятности – вероятность достоверного события и диапазон изменения вероятности любого события:

Имеется понятие практически достоверного события. Его вероятность близка к 1:

Вероятность практически невозможного события:

Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить из условий самого опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта были одинаково возможными.

Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости, на гранях которой нанесено различное число очков: от 1 до 6.

В силу симметрии кубика есть основание считать все шесть возможных исходов опыта одинаково возможными.

Именно это дает нам право предполагать, что при многократном бросании кости все шесть граней будут выпадать примерно одинаково часто. Это предположение для правильно выполненной кости действительно оправдывается на опыте; при многократном бросании кости каждая ее грань появляется примерно в одной шестой доле всех случаев бросания, причем, отклонение этой доли от 1/6 тем меньше, чем больше число опытов произведено. Естественно приписать выпадению каждой отдельной грани вероятность равную 1/6. Это число характеризует некоторые объективные свойства случайного явления, а именно, свойство симметрии шести возможных исходов опыта.

Для всякого опыта, в котором возможные исходы симметричны и одинаково возможны, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.

Симметричность возможных исходов обычно наблюдается только в искусственно-организованных опытах типа азартных игр. Как я уже сказал первоначальное развитие теория вероятностей получила именно на схемах азартных игр, поэтому прием непосредственного подсчета вероятностей исторически возникший вместе с возникновением математической теории случайных явлений долгое время считался основным и был положен в основу так называемой классической теории вероятностей. При этом опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводились к “классической” схеме.

Несмотря на ограниченную сферу практических применений этой схемы, она все же представляет известный интерес, так как именно на опытах обладающих симметрией возможных исходов, и на событиях, связанными с такими опытами, легче всего познакомиться с основными свойствами вероятностей. Такого рода событиям, допускающим непосредственный подсчет вероятностей, мы и займемся в начальной стадии изучения предмета.

Предварительно введем некоторые понятия.

1. Полная группа событий.

Полная группа событий - несколько событий таких, что в условиях опыта должно произойти хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу.

· Выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

· Попадание и промах при выстреле;

· Появление 1,2,3,4,5,6 очков при бросании игральной кости;

· Появление белого шара и появление черного шара при вынимании одного шара из урны, в которых два белых и черных три шара.

· Не одной опечатки, одна, две, три и более трех опечаток при проверке страницы напечатанного текста.

2. Несовместные события.

Несколько событий называются несовместные в данном опыте, если ни какие два не могут появиться вместе.

Практически достоверным событием называется событие, вероятность которого не в точности равно единице, но весьма близка единице.

Если какие то событие А в данном опыте практически невозможно, то противоположное ему событие А, состоящее в невыполненном событие А, будет практически достоверным.

Например, событие “человек до тысячи лет не доживет“ практически достоверно, как и такое событие “обезьяна не напечатает бессмертное произведение Пушкина“.

Алгебра событий.

Мы познакомились со способами непосредственного определения вероятности, а именно: с классической формулой для вероятности события, сводящего к схеме случаев, и со способом приближенного определения вероятности по частоте для события, которые к схеме случаев не сводятся.

Однако не всегда возможно применение этих способов.

Например, разработано перспективное электронное устройство. Необходимо определить вероятность выхода этого устройства из строя в течении года. Этот пример нельзя свести к схеме случаев, а способ приближенного определения вероятности по частоте предполагает изготовление этих устройств в достаточно большом количестве и испытание изготовленных устройств на отказ. Этот прием очень дорогой, да и через год устройство может устареть.

В этом случае применяется другой способ, заключающийся в том, что вычисляют вероятность безотказной работы этого устройства по вероятностям безотказной работы отдельных его элементов.

Для вычисления используют алгебру событий.

Алгебра событий оперирует тремя понятиями:.

1. Суммой двух событий А и В называется событие С, стоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе.

Пример

Событие А – из колоды карт вынута бубновая масть.

Событие В – из колоды карт вынута червовая масть.

Событие С – из колоды карт вынута карта красной масти.

Если вероятность событий обозначить какой – то площадью, то для естественных событий сложение вероятностей может быть изображено следующим образом

Диаграмма Эйлера – Венна

;

:

.

Логическое или.

Для совместных событий это изображение имеет вид

.

Пример:₰&

Событие А – появление бубновой масти.

Событие В – появление старшей карты (туза, короля, дамы или вольта).

Событие С – появление бубновой масти или старшей карты.

.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

2. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

;

;

.

Логическое и.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее совместном появлении всех этих событий.

3. Отрицание события А – это событие В противоположные событию А.

Не А.

Если А и В составляют полную группу несовместных событий, то

.