ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

<12 3 4 5 6 7 >

1. Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформациями которого в данной задаче можно пренебречь. При движении абсолютно твердое тело выступает как единое целое.

2. Любое сколь угодно сложное движение твёрдого тела может быть сведено к сумме двух простейших движений - поступательного и вращательного.

3. Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, сохраняет неизменное направление в пространстве, т.е. перемещается параллельно самой себе.

По форме траектории поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным (например, каждая точка кабины “колеса обозрения” (рис.1) движется по криволинейной траектории - по окружности).

Поступательное движение твёрдого тела называется плоским, если любая точка или частица тела во время движения описывает плоскую траекторию.

При поступательном движении все точки твер дого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые (равные по величине и направлению) перемещения. Следовательно, при поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы. Поэтому, чтобы описать поступательное движение абсолютно твёрдого тела, достаточно определить движение одной из его точек.

4. Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, назы-

ваемой осью вращения.

Ось вращения может проходить сквозь тело или лежать за его пределами (рис.2). Если ось вращения проходит сквозь тело, то те точки тела, которые лежат на этой оси, во время движения тела остаются в покое.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси всегда является плоским движением.

2 КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. При вращательном движении твёрдого тела все его точки двигаются по окружностям (рис.3). При этом радиус-векторы, проведенные из центров соответствующих окружностей к точкам тела, за равные промежутки времени поворачиваются на один и тот же угол. Угол поворота Dj любого из радиус-векторов определяет угловой путь, пройденный телом за данный промежуток времени Dt. При этом угол является аксиальным вектором, направленным вдоль оси вращения с учетом правила правого винта.

2. Быстроту изменения углового пути с течением времени характеризует угловая скорость. По аналогии с линейной скоростью вводят среднюю и истинную угловые скорости. Средняя угловая скорость с учётом того, что угол является вектором, тоже есть вектор (2.1)

Истинная (мгновенная) угловая скорость

(2.2)

Оба вектора направлены вдоль оси вращения (рис.4-а, б)

3. Быстроту изменения угловой скорости характеризует угловое ускорение – среднее и мгновенное. Среднее угловое ускорение

(2.3)

Мгновенное ускорение

(2.4)

Угловое ускорение - вектор, направление которого либо совпа- дает с направлением угловой скорости (при ускоренном вращении), либо противоположно ему (при замедленном вращении) рисунок 4 - б и в.

4. Угловой путь , угловая скорость , угловое ускорение при равнопеременном вращении связаны между собой формулами, по внешнему виду напоминающими формулы прямолинейного равнопеременного движения (в скалярном виде):

(2.5)

(2.6)

(2.7)

где - угловая скорость в данный момент времени;

- начальная угловая скорость.

5. Угловой путь в системе СИ измеряется в радианах (рад.),угловая скорость - в радианах в секунду , угловое ускорение - в радианах в секунду за секунду .

6. Кроме угловых характеристик, движение каждой точки вращающегося тела характеризуют обычные линейные величины: линейный путь S , линейная скорость , линейные ускорения – тангенциальное a_t и нормальное a_n .Установим связь между линейными и угловыми

характеристиками. Как известно, дуга окружности связана с радиусом этой окружности соотношением: , где dj - центральный угол, образованный радиусами, проведёнными к концам дуги.

Угловая скорость , но .

Следовательно, , откуда (2.8)

Аналогично

где - тангенциальное ускорение точки, откуда

(2.9)

И, наконец, нормальная составляющая ускорения

(2.10)

7. Равномерное вращение тела вокруг оси характеризуется еще периодом обращения T и частотой обращения , n.

Период обращения - это промежуток времени, в течение которого тело совершает один оборот. Угол поворота за это время равен 2p. Следователно,

(2.11)

Частота обращения – число оборотов, совершаемых за единицу времени - или n

(2.12)

Откуда

(2.13)

Векторное изображение названных величин показано на рисунке 5.

3 ЦЕНТР ИНЕРЦИИ (ЦЕНТР МАСС) ТВЁРДОГО ТЕЛА

1. Разбив твёрдое тело на отдельные малые элементы, мы можем рассматривать его как систему материальных точек, взаимное расположение которых не изменяется.

На каждый элемент тела могут воздействовать, во-первых, другие элементы этого же тела, во-вторых, внешние тела. Назовем силы взаимодействия элементов друг с другом внутренними, силы, действующие со стороны внешних тел - внешними. Обозначим массу i-го элемента через dm_i , его ускорение через . По второму закону Ньютона: (3.1)

где - результирующая всех внутренних сил, действующих на элемент dm_i; - результирующая всех внешних сил, действующих на элемент dm_i Проинтегрируем выражение (3.1) по всем элементам dm_i. Учтём при этом, что сумма всех внутренних сил равна нулю (в эту сумму попарно войдут все силы действия и противодействия между элементами, равные между собой по третьему закону Ньютона). Тогда:

(3.2)

где - результирующая всех внешних сил, действующая на всё тело в целом.

При поступательном движении твёрдого тела все его элементы приобретают одинаковые ускорения. Следовательно,

(3.3)

Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть заменено движением одной материальной точки, масса которой равна массе тела.

При непоступательном движении ускорения отдельных элементов dm разные, поэтому ускорение при интегрировании выражения (3.2) выносить из-под знака интеграла нельзя, Однако и в этом случае интеграл, стоящий в левой части соотношения (3.2), можно заменить произведением массы тела на ускорение некоторой точки С, определяемой из уравнения:

(3.4)

Точка , определяемая условием (3.4) , называется центром инерции или центром масс тела. В однородном поле тяготения эта точка совпадает с центром тяжести тела.

Таким образом,

(3.5)

Центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, если бы к ней были приложены все внешние силы, действующие на тело.

Радиус-вектор центра масс твердого тела (системы материальных точек) определяется по формуле

(3.6)

где общая масса тела (системы точек), радиус-вектор каждой точки.

Если результирующая внешних сил равна нулю , то и ускорение центра инерции равно нулю. Внутренние силы не могут изменить скорость движения центра масс: в отсутствие внешних сил он либо движется равномерно и прямолинейно, либо покоится.

Понятие центра масс применимо не только к отдельным телам, но и к целой совокупности взаимодействующих тел, например, к частям разорвавшегося снаряда, к двойным звёздам, к солнечной системе и т.д.

4 МОМЕНТ СИЛЫ. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ОСНОВНОЙ ЗАКОН

ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Вращательное действие силы (сообщение телу углового ускорения) зависит не только от величины силы, но и от того, в каком направлении она действует и к какой точке тела приложена. Величиной, которая учитывает все эти факторы, является момент силы. Дадим определение момента силы относительно оси (существует определение момента относительно точки).

Пусть на твёрдое тело, имеющее неподвижную ось вращения, в произвольном направлении действует сила (рис.6-а). Разложим эту силу на две составляющие: , лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и — параллельную оси вращения.

Сила вращательного движения вызвать не может, она лишь деформирует тело (стремится сдвинуть его вдоль оси).

Вращательное действие оказывает только составляющая . Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей этой силы , действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние h от оси вращения до линии её действия (рис.6 -б).

(4.1)

где r - расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Если сила действует в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то момент этой силы равен произведению самой силы на плечо.

. (4.2)

Вращательное действие, в конечном счете, вызывает только составляющая , поэтому ее можно назвать вращательной составляющей, отсюда и индекс - вр. Составляющая направлена перпендикулярно к оси вращения и стремится ее деформировать, вращения не вызывает (рис.6,б).

Момент силы относительно оси – вектор, направленный вдоль этой оси. Направление момента совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, если ось буравчика совпадает с осью вращения тела, а рукоятка поворачивается по направлению силы (рис.7). Произведение есть численное значение векторного

произведения радиус-вектора , проведенного от оси вращения к точке приложения силы , и силы . Следовательно,

(4.3)

2. Установим связь между моментом сил, действующих на вращающееся твёрдое тело, и угловым ускорением этого тела.

Выделим в рассматриваемом теле элемент dm_i. Радиус окружности, по которой движется этот элемент, обозначим через . Пусть сила, действующая на этот элемент в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела, равна . Разложим эту силу на две составляющие: касательную и нормальную (рис.8). Первая из них сообщает выделенному элементу касательное ускорение , вторая - нормальное . По второму закону Ньютона

(4.4)

Как видно из рисунка 8 . Тангенциальное и угловое ускорения связаны соотношением (2.9): ; подставим в (4.4): ; умножим обе части этого равенства на :

(4.5)

В правой части этого выражения стоит момент силы , так как - плечо силы. Следовательно,

(4.6)

Чтобы оценить действие всех сил, приложенных к телу, необходимо проинтегрировать уравнение (4.6) по всем элементам тела:

(4.7)

Интеграл представляет собой полный вращательный момент всех внешних сил, действующих на тело - M.

Величина численно равная произведению массы элемента dm_i на квадрат расстояния от этого элемента до оси вращения , называется моментом инерции этого элемента относительно оси, а интеграл называется моментом инерции всего тела относительно этой оси. (4.8)

Момент инерции характеризует инерционные свойства вращающихся тел: чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции различных тех зависит от распределения масс относительно оси вращения. Расчет моментов инерции - довольно сложная математическая задача.

Приведем выражения моментов инерции некоторых тел: тонкий обруч (цилиндр) радиуса r: I=mr²; сплошной однородный диск (цилиндр) радиуса r: I=½mr²(в обоих случаях оси вращения совпадают с

осями цилиндров); однородный шар радиуса r: (относительно оси, проходящей через центр шара).

Таким образом, , откуда

(4.9)

Учитывая, наконец, векторный характер момента силы и углового ускорения, запишем: (4.10)

Угловое ускорение, приобретаемое вращающимся твёрдым телом, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, зависит от его момента инерции и направлено в сторону момента силы.

Это и есть основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

3. Второй закон Ньютона для материальной точки мы привели в нескольких формах, в частности, в форме . Аналогично можно представить основной закон и для вращательного движения:

(4.11)

В этой формуле (обозначается как ) – момент импульса твёрдого тела (момент количества движения). Момент импульса - вектор, численно равный произведению момента инерции тела на угловую скорость и направленный в сторону угловой скорости. импульс момента силы.

Изменение момента импульса вращающегося тела равно импульсу вращательного момента, действующего на это тело.

Изменение момента импульса за конечный промежуток времени при I = const равно

(4.12)

Если =const (момент силы не изменяется с течением времени), (4.13)

Таковы основные соотношения динамики вращательного движения твёрдого тела.

5 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Кинетическая энергия вращения твёрдого тела складывается из кинетических энергий отдельных элементов. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия элемента dm_i, находящегося на расстоянии r_i от оси, равна

(5.1)

так как

Кинетическая энергия всего тела

Интеграл есть момент инерции тела: , поэтому

(5.2)

Мы видим, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, выражается так же, как и кинетическая энергия поступательного движения, только вместо массы фигурирует момент инерции, а вместо линейной скорости – угловая.

2. Найдём работу, совершаемую приложенным к телу вращательным моментом при повороте тела на некоторый угол вокруг неподвиж-

ной оси.

Пусть сила F, создающая вращательный момент действует по касательной к окружности, которую описывает при вращении тела точка приложения этой силы (рис.9).

При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения силы переместится на расстояние ds (ds-длина дуги окружности).

Работа силы F при этом повороте будет равна:

dA=Fds (5.3)

(направление силы и направление перемещения совпадают). Из геометрических соотношений ds=rdj. Тогда работа dA=Frdj. Но rF=M есть момент силы F относительно оси вращения. Следовательно,

(5.4)

Работа силы, действующей на твёрдое тело при вращении его вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на угол поворота тела.

При повороте тела на конечный угол работа будет равна сумме элементарных работ:

(5.5)

Если момент то работа, совершаемая при повороте

тела на угол , будет равна

(5.6)

3. Покажем, что если к телу приложен вращательный момент, то работа сил, создающих этот момент, будет равна приращению кинетической энергии вращательного движения этого тела.

По основному закону динамики вращательного движения

(5.7)

Подставим (5.7) в (5.4):

но есть угловая скорость.

Следовательно, (5.8)

Полная работа , (5.9)

что и требовалось доказать.

4. В общем случае движение твёрдого тела может быть представлена как суперпозиция поступательного движения центра инерции и вращательного движения вокруг соответствующей оси.

Пусть скорость движения центра инерции тела - и тело вращается вокруг оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия тела, обусловленная его участием в этих видах движения, будет равна: (5.10)

Первое слагаемое определяет кинетическую энергию поступательного движения, второе – кинетическую энергию вращательного движения.

5. В заключение приведём таблицу, в которой сопоставляются величины, играющие аналогичную роль в поступательном и вращательном движениях.

ПосП
1. Линейный путь S (м)	1. Угловой путь j (рад)
2. Линейная скорость (м/с)	2. Угловая скорость (рад/с)
3. Линейное ускорение (м/с²)	3. Угловое ускорение (рад/с²)
4. Масса m (кг)	4. Момент инерции относительно оси I (кг м²)
5. Сила (Н)	5. Момент силы (Н м)
6. Импульс (кг м/ с)	6. Момент импульса (кгм²/с)
7. Импульс силы (Н с)	7. Импульс момента силы
8.Второй закон Ньютона	8. Основной закон динамики:
9. Работа dA=Fds (Дж)	9. Работа dA=Mdj (Дж)
10. Кинетическая энергия (Дж)	10.Кинетическая энергия (Дж)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоростью , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова сделалось равномерным, но уже с угловой скоростью

Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения t, еслиза время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением

откуда

Но так как то

Выразим , и N в единицах системы СИ: рад/с,

12 рад/с, N = 50 об.

Подставив числовые значения в выражение для , получим

рад/с².

Угловое ускорение получилось отрицательным, так как маховик вращался замедленно.

Для определения продолжительности торможения используем формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем t:

или

откуда

Подставив числовые значения, найдём

Пример 2. Два шара массой m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком, невесомом стержне длиной l = 40 см так, как это указано на рисунке 10 в двух случаях. Определить момент инерции J системы, относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

Решение. Для определения момента инерции воспользуемся теоремой Штейнера

где момент инерции системы шаров относительно оси, проходящей через центр масс – точку С; М – масса всей системы, а - расстояние между заданной осью, проходящей через точку О и осью, проходящей через центр масс.

Положение центра масс определим по формуле

где масса i части системы, положение этой массы относительно заданной оси О.

Случай а. Находим положение центра масс

Это есть расстояние а между осями, т.е. .

Расстояние шара массой от центра масс равно ; расстояние шара массой от центра масс равно . С учётом этих замечаний момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс равен

Момент инерции системы относительно заданной оси, проходящей через точку О равен

Подставив числовые значения, получим

Случай б. Находим положение центра масс (расстояние а)

, т.е.

Положение шара массой относительно центра масс

Момент инерции системы шаров относительно оси, проходящей через центр масс

Момент инерции относительно заданной оси О

Численное значение момента инерции равно

Пример 3. Определить момент инерции сплошного шара массой

m= 10 кг и радиусом R = 0,1 м относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Решение. При определении момента инерции шара воспользуемся тем, что момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно его плоскости равен

где m – масса диска, r – радиус диска.

Поэтому будем разбивать шар на диски толщиной dh, расположенные перпендикулярно оси, проходящей через центр масс (рис.11).

Выделим один из таких дисков радиусом r. Его момент инерции равен

Из рисунка следует, что

тогда

и момент инерции всего шара

Подставив числовые значения величин, получим

кг.м².

Пример 4. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n₁ = 8 с^-1и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через с. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела в виде

где момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси , совпадающей с геометрической осью маховика, момент инерции маховика в виде сплошного диска (определяется как ), угловое ускорение.

Угловое ускорение определим как где

Тогда момент М сил трения будет равен

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления

Н.м.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Пример 5. Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, ось которого подвешена на двух накрученных на нее нитях (см. рис.12). Если маятник отпустить, то он будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси.

Определить ускорение поступательного движения маятника, полагая, что момент инерции оси равен нулю.

Решение. Если маятник опустится и пройдет путь , то потенциальная энергия равная перейдет в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений, т.е.

где – момент инерции диска (m – его масса, r – радиус диска), угловая скорость вращения диска, выраженная через линейную скорость крайних точек диска.