ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

1. В природе исключительную роль играют силы тяготения. Закон, которому они подчиняются, - закон всемирного тяготения – открыт Ньютоном в 1687 году.

Согласно этому закону любые две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих точек, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и направленной по прямой, соединяющей эти точки (рис.13).

Численное значение силы тяготения

(6.1)

здесь: m₁ и m₂ - массы материальных точек; r - расстояние между точками; g - гравитационная постоянная (размерный коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения, F, m и r)

2. Чтобы придать закону тяготения векторный вид, проведём от первой точки ко второй радиус-вектор и умножим правую

часть (6.1) на единичный вектор этого направления . Тогда сила, действующая на второе тело со стороны первого , будет равна:

Знак “минус” означает, что направления радиус-вектора и силы противоположны.

3. Силы тяготения подчиняются третьему закону Ньютона: они равны по величине и противоположны по направлению:

4. Силы тяготения – всепроникающие силы: от них нельзя экранироваться, их нельзя усилить или ослабить. Материальная среда, в которой находятся взаимодействующие тела, на величину и направление силы тяготения никакого влияния не оказывает.

5. Формула (6.1) позволяет найти силу гравитационного взаимодействия между материальными точками.

Чтобы рассчитать силу тяготения между телами, размеры которых соизмеримы с расстояниями между ними, поступают следующим образом. Оба тела разбивают на столь малые элементы, что каждый такой элемент можно считать материальной точкой. Выбирают в первом теле произвольный элемент и определяют результирующую силу, действующую на него со стороны всех элементов второго тела, иначе говоря, определяют силу, с которой второе тело в целом притягивает к себе этот выделенный элемент. Затем проделывают то же самое для остальных элементов первого тела, после чего находят полную геометрическую сумму сил, найденная сумма и будет представлять собой силу, с которой второе тело действует на первое. С такой же по величине, но противоположной по направлению силой первое тело действует на второе. Расчёт показывает, что математическое выражение для силы тяготения, действующей между однородными шарами, шарами с плотностью, зависящей от r (r – расстояние от центра шара), между сферическими слоями будет совпадать с (6.1), если под r понимать расстояние между центрами этих тел (рис.14). Закон тяготения справедлив также для тел, одно из которых - однородный шар, а другое - материальная точка (с этим случаем мыимеем дело, например, при расчёте силы, с которой Земля притягивает к себе находящиеся на её поверхности тела).

6. В формулу закона тяготения входит масса. Масса уже фигурировала в уравнениях механики, в частности, в выражении второго закона Ньютона. Там она характеризовала инерционные свойства тел и называлась “инертной”.

Роль массы в законе тяготения иная. Здесь она определяет силу гравитационного взаимодействия материальных тел, т.е. является ме-

рой их гравитационных свойств. Эту массу, в отличие от “инертной”, называют “гравитационной” или “тяжёлой”.

Различать гравитационную и инертную массу в настоящее время нет необходимости. Многими, весьма тонкими экспериментами (Бессель, Этвеш, Крылов и др.) установлено, что инертная и гравитационная массы с точностью до 10^-8 совпадают. Это, в сущности, одна и та же физическая величина, по-разному проявляющая себя в различных физических явлениях. С одной стороны, масса - это мера инерционных свойств, с другой - мера гравитационных свойств.

7. Гравитационная постоянная g является универсальной константой, не зависящей от природы взаимодействующих тел. Эта величина

численно равна силе, с которой притягиваются друг к другу две материальные точки единичной массы, расположенные наединичном расстоянии друг от друга: если | m₁ |= | m₂ | = 1, | r | = 1, то | g | = | F |.

Численное значение g было впервые определено У. Кавендишем

в 1797 г.

Это значит, что два точечных тела (или шара) массой по 1кг каждый, расположенные на расстоянии 1м друг от друга, притягиваются с силой 6,67×10^-11 Н.

Необычайно малая величина g указывает на то, что гравитационное взаимодействие становится заметным только в случае очень больших масс. В механике таких объектов, как атомы и молекулы, гравитационные силы практически не играют никакой роли.

Движение же таких макроскопических тел, как звёзды, Солнце, планеты, Луна, спутники (после того, как выключены двигатели) полностью управляется силами тяготения.

7 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ТЯГОТЕНИЯ

1. Так как силы тяготения зависят только от взаимного расположения тел, то любая система тел обладает вполне определённой потенциальной энергией тяготения.

Найдём потенциальную энергию взаимодействия двух точечных тел. Для этого сначала рассчитаем работу, совершаемую силами тяготения при изменении взаимного расположения этих тел. Пусть массы тел равны соответственно m₁ и m₂. Будем считать, что одно из тел (m₁) неподвижно, а другое (m₂) перемещается по произвольному пути. Начальное и конечное положения перемещающегося тела определяют радиус-векторы и , проведённые из точки, где находится тело m₁ (рис.15).

Элементарная работа, совершаемая силой тяготения при перемещении тела m₂ на , равна

(7.1)

(так как cosb = - cosa).

Сила тяготения равна: , - есть проекция вектора перемещения на направление радиальной прямой, (прямой, соединяющей тела), иначе говоря, изменение расстояния между телами. Следовательно,

(7.2)

Взяв интеграл от выражения (7.2) в пределах от r₁ до r₂, мы найдём работу сил тяготения при перемещении тела m₂ из точки (1) в точку (2):

(7.3)

Как видно из этой формулы, работа сил тяготения зависит только от изменения расстояния между телами, но не зависит от величины и направления вектора перемещения .

Мы убедились так же, что работа силы тяготения не зависит от формы пути.

Следовательно, силы тяготения – консервативные силы, поэтому правую часть (7.3) следует рассматривать как разность начального и конечного значений потенциальной энергии:

(7.4)

где

С – произвольная постоянная, зависящая от выбора нулевого уровня потенциальной энергии.

Определим C.

Условимся считать потенциальную энергию рассматриваемых тел равной нулю, когда они находятся на таком расстоянии друг от друга, что силами взаимодействия между ними можно пренебречь,

т.е. когда r = ¥:

При таком выборе нулевого уровня ,

Откуда C = 0. Следовательно,

(7.5)

Взаимная потенциальная энергия тяготения отрицательна и возрастает с увеличением расстояния. На рисунке 16 приведён график потенциальной энергии двух материальных точек.

8 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЁННОСТЬ

И ПОТЕНЦИАЛ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

1. В 18-19 в.в. в физике господствовала идеалистическая теория дальнодействия. Согласно этой теории действие одного тела на другое передается мгновенно - с бесконечно большой скоростью, без всякого участия промежуточной материальной среды.

По современным материалистическим представлениям действие на расстоянии мыслится как процесс распространения изменений осо-бой формы материи, связанной с взаимодействующими объектами и называемой полем[1] (теория близкодействия).

Гравитационное взаимодействие осуществляется через посредство гравитационного поля или поля тяготения.

Каждое тело создает в окружающем пространстве свое собственное гравитационное поле.

2. Исследование свойств гравитационного поля осуществляется при помощи „пробного тела" (иногда говорят о “пробной массе”, понимая под этим тело, обладающее вполне определенной массой).

Измеряя величину и направление силы, которая действует на пробное тело в данной точке поля, оценивая его потенциальную энергию, можно судить об интенсивности и свойствах поля в рассматриваемой точке.

Пробное тело должно быть точечным и не должно обладать слишком большой массой (в противном случае исследуемое поле будет

сильно искажаться полем пробного тела).

3. Как показывает опыт, сила, действующая в данной точке поля на пробные тела различной массы, прямо пропорциональна массе этих тел. Но если рассчитать силу, действующую на тело единичной массы (для этого достаточно найти отношение ), то эта сила будет зависеть только от свойств поля в данной точке и поэтому может служить его характеристикой. Эта векторная величина называется напряжённостью.

Напряжённость гравитационного поля - векторная физическая величина, характеризующая силовое действие гравитационного поля на вносимые в него материальные тела и численно равная силе, с которой поле действует на точечное тело единичной массы, помещённое в данную точку: (8.1)

Направление вектора напряжённости совпадает с направлением силы, действующей на пробное тело.

Как видно из формулы (8.1), напряжённость гравитационного поля измеряется в таких же единицах, что и ускорение.

Если во всех точках поля вектор напряжённости имеет одно и то же численное значение и одинаково направлен, то такое поле называется однородным.

4. Найдём напряжённость в произвольной точке гравитационного поля Земли. Так, как Земля в первом приближении - шар, силу взаимодействия её с пробным телом можно найти по формуле Ньютона (6.1). Тогда численное значение напряжённости (8.2)

где - масса Земли; - радиус Земли; h - расстояние от поверхности Земли до точки наблюдения (рис.17).

Мы видим, что гравитационное поле Земли в целом неоднородно.

Учитывая, однако, что центр этого поля (центр Земли) отстоит от поверхности Земли на расстоянии 6400 км, можно с достаточной степенью точности считать, что вблизи поверхности Земли (например, в масштабах лаборатории) гравитационное поле Земли однородно.

5. По своему смыслу напряженность гравитационного поля и ускорение, которое приобретает тело под действием силы тяготения, - одно и то же, если ускорение отсчитывается относительно инерциальной системы отсчета[2]. В земных условиях, однако, отсчет ведется относительно системы, связанной с Землей. Земля же, как известно, не является инерциальной системой. Поэтому ускорение свободного падения[3] , наблюдаемое относительно Земли, обусловлено как силой тяготения, так и центробежной силой инерции[4] (рис.18). Если вращением Земли пренебречь, то можно поставить знак равенства между ускорением “свободного” падения и напряжённостью гравитационного поля Земли :

(8.3)

Учитывая (8.2), найдём, что численное значение g равно

(8.4)

Это соотношение показывает, что ускорение, испытываемое телами различной массы, одинаково (если эти тела одинаково удалены от центра Земли).

Если тело находится вблизи поверхности Земли (h практически равно нулю), то

(8.5)

Выразив из (8.5) массу Земли и подставив ее в (8.4), получим

(8.6)

6. Гравитационное поле можно описать с энергетической точки зрения. Для этого вновь воспользуемся точечным пробным телом.

В каждой точке гравитационного поля пробное тело обладает вполне определённой потенциальной энергией. Эта энергия зависит не только от величин, определяющих поле (от положения точки наблюдения и от массы тела, создающего поле), но и от массы пробного тела.

Вычислим отношение потенциальной энергии пробного тела к

его массе:

Легко видеть, что это отношение не зависит от массы пробного тела и характеризует исключительно свойства поля. Эта величина характеризует энергетическое состояние поля в той точке, куда помещено пробное тело, и называется потенциалом.

Потенциал данной точки гравитационного поля - скалярная физическая величина, характеризующая энергетическое состояние поля в этой точке и численно равная потенциальной энергии пробного тела единичной массы, внесённого в эту точку:

(8.7)

Две материальные точки массой М и m обладают взаимной потенциальной энергией (7.5), равной

Подставив это выражение в (8.7), мы найдем, что потенциал поля, созданного материальной точкой (или шаром) равен:

(8.8)

В частности, потенциал поля тяготения Земли в произвольной точке (вне Земли) равен:

(8.9)

где - масса Земли; - радиус Земли; h - расстояние от поверхности Земли до точки наблюдения.

Заметим, что потенциал, так же как и потенциальная энергия, определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоян-

ной С. Выбор нулевого уровня потенциала осуществляется произвольно. Формулы (8.8), (8.9) записаны в предположении, что нулевой уровень потенциала выбран в бесконечности.

7. Из(8.7) следует, что тело массой т, помещенное в точку поля с потенциалом j, обладает потенциальной энергией

(8.10)

Работа сил тяготения равна убыли потенциальной энергии: (8.11)

Таким образом, работа сил гравитационного поля при перемещении тела массой m равна произведению массы этого тела на разность потенциалов начальной и конечной точек пути.

Если тело удаляется из точки с потенциалом , в бесконечность, где, по соглашению, потенциал поля равен нулю, то работа сил поля будет равна:

(8.12)

Отсюда следует , т.е. потенциал численно равен работе, совершаемой силами гравитационного поля при перемещении точечного тела единичной массы из данной точки в бесконечность (или просто на нулевой уровень, так как вобщем случае нулевой уровень потенциала может быть выбран где угодно).

8. Гравитационное поле можно изобразить графически либо при помощи линий вектора напряжённости, либо при помощи поверхностей равного потенциала. Линия вектора напряженности (силовая линия или просто линия поля) - линия, касательная в каждой точке которой, совпадает с направлением вектора напряжённости в этой же точке (рис.19).

Линии гравитационного поля обычно проводят с такой густотой, чтобы она была пропорциональна напряжённости в соответствующих местах.

Поверхность равного потенциала (эквипотенциальная поверхность) - поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал.

Работа сил тяготения при перемещении тела по одной и той же эквипотенциальной поверхности равна нулю (так как потенциалы начальной и конечной точек пути одинаковы):

Но с другой стороны , где F¹ 0 dr¹0.

Следовательно, . Отсюда следует, что угол между линией вектора напряжённости и элементом эквипотенциальной поверхности прямой, т.е. линии вектора напряжённости всюду перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. На рисунке 20 изображены линии вектора напряжённости и эквипотенциальные поверхности (вернее, не сами поверхности, аих сечения плоскостью чертежа) поля тяготения, создаваемого телом сферической формы.