ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕРНИЗИРОВАННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ СПРОСА НА ИЗДЕРЖКИ ФИРМЫ

Захарова А.В.

Учебно-воспитательный комплекс № 1840, Москва

Цель настоящей работы есть максимизация выпуска производства, которое можно представить функцией Y=A*X₁^a1*X₂^a2*e^-g1*x1-g2*x2.

Данная функция – Y=A*X₁^a1*X₂^a2* e^-g1*x1-g2*x2 - функция, описывающая связь между объемом производства и факторами производства (в данном случае труд и капитал).

A,a1,a2,g1,g2-коэффициенты;

X1-труд;

X2-капитал;

Функция Кобба-Дугласа (Y= A*X₁^a1*X₂^a2) при больших значениях Х не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.(1)

Кинетическая функция Y=A*X₁^a1*X₂^a2*e^-g1*x1-g2*x2 получена умножением функции Кобба-Дугласа на e^-g1*x1-g2*x2 , что снимает проблему (1) и делает Y=A*X₁^a1*X₂^a2*e^-g1*x1-g2*x2 экономически интересной.

1.В наших исследованиях рассматривается работа фирмы в условиях совершенной конкуренции.

В этом случае фирма не влияет на цену:

P=const;

2.Мы получаем ограничения на коэффициенты a1,a2,g1,g2 в экономической области. В экономической области любое увеличение затрат должно увеличивать объем выпуска.

При Х1,X2>0

Y’_x1>0;

Y’_x2>0;

3.В нашей работе рассматривается локальный показатель измерения дохода от расширения производства – эластичность выпуска.

При a>1

a(x1,x2)=(ax1,ax2);

f(a(x1,x2))=af(x1,x2).

E=E1+E2;

E1=Y’_x1*x1/Y;

E2=Y’_x2*x2/Y;=>

E=a1+a2-g1*x1-g2*x2;

Находим область значений F=F(E) в зависимости от параметров a1,a2,g1,g2.

4.Для сужения области нахождения коэффициентов мы рассматриваем функцию Y=A*X₁^a1*X₂^a2*e^-g1*x1-g2*x2 в особой области (часть экономической области).

В этой области действует закон убывающей доходности, т.е.

Y’’_x1x1<0;

Y’’_x2x2<0.

И матрица Гессе отрицательно определена:

=Y’’_x1x1 *Y’’_x2x2-Y’’_x1x2 *Y’’_x2x1>0;

Решая это неравенство, мы получаем область на координатной плоскости (х1,х2) в виде эллипса , полуоси которого и положение центра которого на координатной плоскости изменяются в зависимости от выбранных нами коэффициентов.

6.Найдя все ограничения на функцию Y=A*X₁^a1*X₂^a2* e^-g1*x1-g2*x2 мы максимизируем прибыль:

П=P*Q-c1*x1-c2*x2;П’_x1=0;П’_x2=0.Мы находим, что

X1=c2*x2*a1/(c2*x2*g1+c1*a2-c1*x2*g2);

Подставляя X1 в одно из уравнений ((1) или (2)), мы получаем уравнение для нахождения оптимального значения X2. Полученное уравнение является трансцендентным. Для его решения мы можем использовать , к примеру ¸метод хорд и касательных.