Методы численного решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Метод Гаусса(метод исключения неизвестных).

Пример: пусть требуется решить систему уравнений

(1)

Исключим сначала неизвестное х₁ из второго и третьего уравнений системы (1), используя первое уравнение. Уравнение, с помощью которого преобразуются остальные уравнения, называют разрешающим, а коэффициент этого уравнения при неизвестном, исключаемом из остальных уравнений, - разрешающим или главным элементом. (Первое уравнение – разрешающее, коэффициент 5 при х₁ в этом уравнении – разрешающий элемент).

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем преобразованное первое уравнение из второго и третьего уравненийсистемы (1).

Теперь разрешающее - второе уравнение. Разделим его на и вычтем преобразованное второе уравнение, умноженное на , из третьего уравнения. Получим систему

Выполнен прямой ход в методе Гаусса.

Выполняем обратный ход, исключая последовательно и из второго и первого уравнений:

a) умножаем третье уравнение на и вычитаем его из второго уравнения;

b) умножаем его же на и вычитаем из первого уравнения:

c) умножаем второе уравнение на и вычитаем его из первого:

(2)

Получаем решение системы (1)

Пусть теперь дана система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(3)

Решением системы (3) называется упорядоченное множество чисел , если подстановка превращает уравнения (3) в равенства .