Действия над приближенными числами.

1 Умножение и деление приближенных чисел.

1. При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности (не абсолютные!).

Относительная погрешность выражения

r = (1)

оценивается величиной

δ₂ = δ_а1 + δ_а2 +…+ δ_аm + δ_b1 + δ_b2 +…+ δ_bn (2)

Если у одного из чисел ai, bj относительные погрешности значительно превышают относительные погрешности других чисел, относительная погрешность выражения (1) считается равной этой наибольшей погрешности.

2. Абсолютная погрешность выражения (1) вычисляется по его относительной погрешности.

∆r = /r/•δr

Пример: вычислить выражение:

считая, что все числа даны с верными знаками, т.е. их абсолютные погрешности не превосходят половины единицы младшего оставляемого разряда.

Решение: наибольшую относительную погрешность имеет число 3,2

δ_а =

т.о. результат содержит не более двух верных знаков. В расчетах сохраняем один дополнительный знак (округляем числа)

Абсолютная погрешность ∆r = r • δr = 0,221• 0,016 = 0,0036

Результат: r = 0,22; ∆r < 0,005

2. Погрешности вычисления значений функции.

Пусть задана дифференциальная функция

U = f (x₁, x₂,…x_n)

Пусть /∆xi/ (i = 1,…,n) – абсолютные погрешности аргументов.

Абсолютная погрешность функции

/∆U/ = /f (x₁ +∆ x₁, x₂ +∆ x₂, …, x_n +∆ x_n) - f (x₁, x₂,…x_n)/

Т.к. ∆x_i – малы, то можно, разложив f (x_i +∆x_i (i = 1,…n)) в ряд Тейлора и пренебрегая числами ∆x_i ² и т.д., т.е. оставив в разложении только линейные числа, получить:

, т.е.

(1)

Относительная погрешность функции:

(2)

7.1. Функция одной переменной: y = f (x)

Абсолютная погрешность: ∆у = /f’(x)/ • ∆x

Относительная погрешность: (3)

Т.к.

Примеры: а) степенная функция у = х^а

∆у = /а/х^а-1∆x; т.к. ∆у = /f’(x)/ • ∆x

б) показательная функция: у = а^х (а > 0)

∆у = а^х • lnа • ∆х; δ_у = ∆х • lnа

для функции у = е^х получаем δ_у = ∆х

в) логарифмическая функция у = lnх

∆у = 1/х • ∆х = δ_х

для десятичного логарифма имеем ∆у = 0,4343•δ_х

г) тригонометрические функции:

абсолютные погрешности синуса и косинуса не превосходят абсолютные погрешности аргумента: ∆sinx = /cosx/•∆x ≤ ∆x и т.д.

д) функция нескольких переменных.

Пусть U = x y² z³.

x = 37.1 y = 9.87 z = 6.052

∆x = 0.3 ∆у = 0.11 ∆z = 0.016

Находим относительные погрешности аргументов.

; ;

Относительная погрешность функции равна см.(2)

;

На практике ориентировочно можно считать, что наличие только одного знака соответствует относительной погрешности порядка 10 %, двух верных знаков – относительная погрешность порядка 1 %, трех верных знаков – порядка 0,1 %.

При такой относительной погрешности значение функции следует вычислять не более чем с двумя-тремя значений.

U = 801 • 10³

Абсолютная погрешность при этом равна

∆U = U • δ_U = 801• 10³ • 0,038 = 30 • 10³

Целесообразно результат округлить до двух знаков:

U = 8,0 • 10⁵ ∆U = 0,3 • 10⁵

3. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.

(Обратная задача теории погрешностей)

Каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

Эта задача математически неопределенна, т.к. заданную предельную погрешность Δ_u функции u = f(x₁,x₂,…,x_n) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности Δ_x ee аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний: