Источники погрешностей результатов вычислений.

а) исходные данные получены из эксперимента, т.е. имеют ограниченную точность;

б) в процессе вычислений иррациональные величины: π, е, и т.д. могут быть представлены лишь приближенно;

в) часто методы решения задач требуют для получения ответа бесконечного числа шагов (например при интегрировании, когда исходная функция заменяется степенным рядом с бесконечным числом членов). Решение прекращается после выполнения конечного числа операций;

г) ограниченное число разрядов в ЭВМ и т.д.

При решении задач на ЭВМ пользуются те или иные вычислительные схемы.

Пример, «ловушки» при численных расчетах [Березин, Жидков, т 1 стр. 39]

Вычислить объем шара, заключенного между цилиндром радиуса R и взаимно перпендикулярными плоскостями. Радиус шара – r.

;

Рассмотрим три различных вычислительных схемы:

Подсчитаем три выражения для двух приблизительных значений

= 1,4142135624…

1. = 1,4 = ; ∆₁ = 0,014 /∆₁ / = 0,014

2. = 1,4166 = ∆₂ = -0,0024 /∆₂ / = 0,0024

второе значение более точное.

Результаты сведем в таблицу

		(3-2 )	99-70

Имеем 6 ответов (от -0,1666 до +1), существенно отличающихся друг от друга. Причем вариант - очевидно абсурден. Сразу не ясно, какой из оставшихся результатов ближе к верному.

Один программист сказал: «написать две хороших подпрограммы на порядок легче, чем решить, какая из них лучше»

[Малькольм, Форсайт, Моулер]

Необходимость оценивать результаты программ обусловила необходимость анализа погрешностей.

1. Абсолютная и относительная погрешности,

Под ошибкой или погрешностью, ∆а приближенного числа, а понимают разность между точным числом и приближенным

∆а = А – а (иногда: ∆а = а – А )

Абсолютная погрешность приближенного числа

∆ = ‌‌‌‌‌/∆а/ ∆ = /А-а/

Т.к. точное число А обычно неизвестно, то используют верхнюю оценку ∆ – предельную абсолютную погрешность ∆а, т.е. всякое число, не меньше абсолютной погрешности этого числа.

∆ = ‌/А – а/ ≤ ∆а (1)

Т.о.

а – ∆а ≤ А ≤ а +∆а

Или

А = а ± ∆а

Пример: определить ∆а числа а = 3,14, заменяющего π.

Решение: 3,14 < π < 3,15

/а – π/ < 0,01 т.о. ∆а = 0,01

Если учесть, что

3,14 < π < 3,142, то ∆а = 0,02

Нужно выбирать нижнюю грань числа ∆а, удовлетворяющего неравенству (1).

Относительной погрешностью δ приближенного числа а называют отношение абсолютной погрешности ∆ к модулю точного числа А (А ≠0)

δ = (2)

т.е. ∆ = /А/ • δ

Предельной относительной погрешностью δа называется всякое число, не меньшее относительной погрешности приближенного числа а.

δ ≤ δа т.е. ≤ δа → ∆ = /А/ • δа

Сравнивая с (1) получаем: предельная абсолютная погрешность равная предельной относительной погрешности умноженной на модуль точного значения числа.

∆а = /А/ • δа (3)

На практике считают (т.к. А ≈ а)

∆а = /а/ • δа (4)

границы для точного числа А равны

а(1 – δа) и а(1 + δа)

т.о. А = а(1 ± δа)

3. Значащая цифра. Число верных знаков.

Примеры:

незначащие цифры

значащие цифры

Т.о. для числа

а = α_m • 10^m +…+ α_m-n+1 – 10^{m-n +1} +…

(ли известно, что ∆ = /А – а/ ≤ 1/2 • 10^{m-n +1})

Пример: А = 35,97 а = 36,00

В а верны три знака, т.к. /А – а/ = 0,03 < 1/2 • 0,1

следовательно, 0 • 10^-1 – верная значащая цифра.

4. Округление чисел.

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от n-ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разряда, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая из отброшенных цифр < 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

2) если первая из отброшенных цифр > 5, то к последней оставшейся цифре добавляется 1;

3) если первая из отброшенных цифр = 5 и среди отброшенных цифр есть ненулевые, то последняя оставшееся цифра увеличивается на 1;

4) если все отброшенные цифры (первая = 5) – нулевые, то последняя оставшееся цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

Рекомендации для практического применения:

1. Количество верных знаков числа отсчитывается от 1-ой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности. S = 20.7426; ∆s = 0.0926 верные знаки 2, 0, 7. по определению 2, верные значащие цифры были бы 2,0, т.к. 0,09>

1/2 • 0,1 = 0,05

2. В окончательных результатах вычислений обычно оставляют, кроме верных, один сомнительный знак. В промежуточных результатах обычно оставляют два-три сомнительных знака, чтобы не накапливать погрешности от округлений.

Пример: Длина и ширина комнаты, измеренные с точностью до 1 см., равны

а = 5,43м; в = 3,82м. Оценить погрешность площади.

S = ав = 20,7426 м²

Решение: ∆а = 0,01м; ∆в = 0,01м

Smax = (a + 0.01)(в + 0,01) = 20,8952 м² /Smax – S/ = 0,0926

Smin = (a - 0.01)(в - 0,01) = 20,6502 м² /Smin – S/ = 0,0924

∆S = 0,0926. Можно положить ∆S = 0,1. Погрешность увеличивают при округлении.

Приближенное значение S = 20,7 (или даже 21).

5. Сложение и вычитание приближенных чисел.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых:

если S = а₁+а₂+…±аn

то ∆S = ∆а₁+∆а₂+…±∆аn

За предельную абсолютную погрешность можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей.

Практическое правило для сложения приближенных чисел.

1. выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;

2. остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных знака;

3. произвести сложение, учитывая все сохраненные знаки;

4. результат округлить на 1 знак

Пример: найти сумму приближенных чисел, каждое из которых имеет все верные значащие цифры:

0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354.

Решение:1) выделяем числа наименьшей точности: 345,4; 235,2 (абсолютная погрешность может достигать 0,1).

2) округляем остальные числа до 0,01

получим

345,4	3) округляем результат до 0,1. По правилу четной цифры получаем: S = 602,2
235,2
11,2
9,27
0,35
0,18
0,08
0,02
0,00
602,25

Абсолютная погрешность находится в (приближенно) как сумма абсолютных погрешностей исходных данных и погрешности округления

∆S = 0,10 + 0,05 = 0,15 ∆а = 0,2

Относительная погрешность δs суммы нескольких чисел одного и того же знака между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых: min δак ≤ δs ≤ δак (ак > 0, к = 1, 2, 3…, n)

Пример: оценить относительную погрешность суммы, найденной в предыдущем примере, и сравнить ее с относительными погрешностями слагаемых.

Решение: абсолютная погрешность (погрешность суммирования) ∆ равна 0,1. относительная погрешность δ = ∆/А:

Δ = 0,1/602,2 = 0,017 %

Относительные погрешности слагаемых: 0,0005/0,348 = 0,5/348 = 15 %

0,5/348 = 15 %; 0,5/1834 = 0,027 %; 0,5/3454 = 0,015 %

05/2352 = 0,022 %; 0,5/1175 = 0,043 %; 0,5/927 = 0,054 %

0,5/849 = 0,059 %; 0,5/214 = 0,24 %; 0,5/354 = 0,015 %

min δак = 0,015 %

max δак = 0,24 %

δs = 0,017 %

Наибольший вклад в сумму вносят слагаемые 345,4 (δ = 0,015 %) и 235,2 (δ = 0,022 %). δ заключена между этими значениями.

Относительная погрешность разности двух положительных чисел больше относительных погрешностей этих чисел, особенно, если эти числа близки между собой.

Это приводит к потере точности при вычитании близких чисел. При приближенных вычислениях полезно преобразовать выражения, связанные с вычислением близких чисел.

Пример: U = ; найти разность с тремя верными знаками.

= 1,41774469

= 1,41421356

U = 0,00353 = 3,53•10^–3 вычисления нужно вести с 6 знаками после запятой, т.е. 7 верных знаков.

Преобразуем U:

Заданную точность можно обеспечить, взяв корни лишь с тремя верными знаками.

U =

ЛЕКЦИЯ 2