Метод Гаусса с выбором максимального элемента по столбцу
В начале первого шага прямого хода среди коэффициентов при неизвестном находят наибольший по модулю. Пусть это . После этого в исходной системе делают перестановку: меняют местами 1-ое и j-ое уравнения. Далее выполняют описанные действия.
В начале второго шага прямого хода максимальный по модулю элемент выбранный среди коэффициентов при неизвестном . Снова возможна перестановка уравнений и исключение из третьего и последующих уравнений и т.д.
При выполнении процедуры прямого хода возможны следующие случаи:
1. матрица А приводится к треугольной (получаю решение).
2. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (ранг матрицы А< n) – Это происходит, если в системе получаются в процессе преобразований тождества 0=0. Система имеет бесконечное множество решений.
3. все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, свободный член отличен от нуля. Система не имеет решения.
Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента (по столбцу)
ЛЕКЦИЯ 4
Метод итераций
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
(1)
Если все диагональные элементы , то систему (1) можно представить в приведенном виде
(2)
где
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
(3)
В качестве начального приближения возьмем вектор b и подставим его в уравнение (3). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений:
- первое приближение
-второе приближение (4)
. . . . . . . . .
- (k+1)-ое приближение.
Если существует предел x последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что x является решением уравнения (3), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (3) имеет единственное решение x, к которому стремится последовательность итераций (4) при любом выборе начального приближения.
Под нормойматрицы понимают следующие выражения:
(m – норма - максимальное значение суммы модулей элементов строки)
(l – норма - максимальное значение суммы модулей элементов столбца)
(k - норма)
Пример: для матрицы
В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (3) на k-м шаге оценивают неравенством
, (5)
где - норма вектора X
m-норма или кубическая норма
l-норма или октаэдрическая норма
k-норма или сферическая норма.
Из неравенства (5) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности e.
Отклонение приближения от решения x по норме не будет превышать e, если
(6)
Для вывода (6) достаточно рассмотреть равенства:
; ; ;
;
; и т.д.
Далее .
И, учитывая, что , т.к. норма .
В неравенствах (5) и (6) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы.
Неравенство (6) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (6) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью e.
(7)
Пример:Найти решение системы уравнений
методом итераций с точностью 10-2.
Решение:Приведем систему к виду (2)
Запишем последовательность итераций
(8)
Для приведенной матрицы достаточное условие сходимости выполняется по m-норме:
В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы .
Число итераций для достижения заданной точности определяем из неравенства (6) , которое запишем так:
, действительно: .
; т.к. то ; .
Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (8) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (6) в виде:
.
Первое приближение:
Следовательно, дает значение корня ξ с погрешностью, не превышающей величины .
Далее последовательно находим:
;
.
Третья итерация:
;
.
Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение .
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 3967;