Обращение матрицы при разбиении на клетки
Разобьем матрицу А на четыре клетки
Будем искать обратную матрицу А-1также в виде четырехклеточной матрицы:
Так как , то перемножая эти матрицы, получим четыре уравнения:
(1)
Es, Er - единичные матрицы (rxr) (sxs)
Решая уравнения (1), получим:
Вначале находим β12 и β22, а затем β11 и β21
В этом случае приходится обращать матрицы меньшей размерности:
что дает существенный выигрыш в памяти ЭВМ.
4. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
Пусть дана неособенная матрица А и обратная – А-1
Для вычисления элементов обратной матрицы xij используем соотношение
Умножая матрицы А и А-1 и сравнивая каждый элемент произведения соответствующему элементу матрицы Е, получим систему уравнений с n2 неизвестными xij(i,j (1,…n))
Умноженная почленно все строки матрицы А на первый столбец матрицы А-1 получим первые n уравнений:
(1)
Умножая почленно все строки матрицы А на второй столбец матрицы А-1 получим вторые n уравнений:
(2)
И так далее.
В общем виде система n2 уравнений может быть записана как
Все n уравнений (n систем вида (1), (2)) имеют одну и ту же матрицу А и различные свободные члены. Решаем систему методом Гаусса.
5. Применение метода итераций для умножения элементов обратной матрицы
Найдем обратную матрицу методом Гаусса.
из-за погрешностей вычислений.
Будем считать полученную матрицу - первым приближением к обратной матрице. Для уточнения элементов матрицы строим итерационный процесс (Демидович и Марон, и др.)
(1)
(2)
Если , то итерационный процесс сходится.
Процесс (1), (2) продолжают до тех пор, пока элементы матрицы F по модулю не станут меньше заданного числа Е. Тогда полагают (можно рассматривать какую-либо норму матрицы F)
Пример:
Уточнить элементы матрицы А-1. Итерации продолжать до тех пор, пока элементы матрицы Fk по модулю не станут ≤5*10-5
Решение:
- Находим F0 по формуле (1)
- Находим D0F0
- Находим
ЛЕКЦИЯ6
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 2241;