Достаточное условие сходимости процесса итераций
Для неприведенной (исходной) системы уравнений (1) достаточное условие сходимости итерационного процесса по m-норме можно представить в виде:
(9)
т.е. если для каждого из уравнений системы (1) модули диагональных элементов больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (строки i).
Достаточное условие сходимости процесса для неприведенной системы (1) по l-норме можно представить в виде:
(10)
(модули диагональных элементов больше суммы модулей всех остальных элементов столбца). Если условия (9) не выполняется, следует проверить условие сходимости по l- и k-нормам к системе (1) или после приведения ее к виду (2).
Блок-схема численного решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций
Некоторые более подробные фрагменты блок-схемы численного решения системы уравнений методом итераций
Подпрограмма вычисления вектора на одном шаге итераций (умножение матрицы A на вектор X плюс вектор B)
ЛЕКЦИЯ 5
Основные понятия алгебры матриц и теории линейных векторных пространств.
1. Обратная матрица
Решение системы линейных уравнений
(1)
находится как
(2)
где А-1-матрица, обратная к А
Обратной матрицей к данной называется матрица, которая, будучи умноженная как справа, так и слева на единичную матрицу, дает единичную матрицу
(3)
Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы. Квадратной матрицей называется неособенной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае – особенная или сингулярная.
Теорема: Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.
Доказательство:Пусть дана неособенная матрица А
Определитель или детерминант квадратной матрицы А
(4)
где сумма (4) распространена на всевозможные постановки (α1,α2,…αn) элементов 1,2,3…n и, следовательно, содержит n! Слагаемых, причем n=0, если перестановка четная и n=1, если перестановка нечетная.
Перестановка называется четной, если четно число встречающихся в ней инверсий (Инверсия перестановки: когда αi<αj, при i >j)
Составим для матрицы А присоединенную матрицу
Где Аij – алгебраическое дополнение (миноры со знаками) соответствующих элементов aij(i,j=1,2,3…n)
В присоединенной матрице алгебраические дополнения строк помещаются в соответствующих столбцах, то есть производится операция транспонирования.
Обратная матрица А*=А-1 равна , где Δ – определитель
Для данной матрицы А ее обратная матрица А-1 (если она существует) – единственная.
Теорема:
Особенная обратная матрица обратной не имеет.
Доказательство:
Если А-особенная матрица, то det A=0,
Отсюда следует, что
0=1
Теорема доказана.
Пример:
Для матрицы А найти обратную
Решение:
Составляем присоединенную матрицу:
Свойства обратной матрицы:
1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы
2. Обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке.
3. Транспонированная обратная матрица равна обратной ей транспонированной данной матрицы
2. Ранг матрицы
Определение:
Рангом матрицы называется максимальный порядок минора матрица, отличный от нуля.
Матрица А имеет ранг r, если:
- Найдется, по меньшей мере, один ее минор второго порядка, отличный от нуля.
- Все миноры матрицы А порядка 2+1 и выше равны нулю.
Разность между наименьшим из чисел m и n (матрица А имеет размерность mxn) и рангом матрицы r называется дефектом матрицы.
Если дефект матрицы равен нулю, то ранг матрицы – наибольший из возможных для данной матрицы.
Правило нахождения ранга матрицы:
- Начиная с миноров первого порядка (элементов матрицы), переходить к минорам больших порядков.
- Пусть найден минор D r-го порядка, отличный от нуля, тогда нужно вычислить лишь миноры (r+1)-го порядка, окаймляющие минор D. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен r. Если же хотя бы один отличен от нуля, то эту операцию нужно применять к нему, увеличить ранг матрицы А на 1.
Пример:
Найти ранг матрицы А (4х5)
В матрице содержатся миноры второго порядка, отличные от нуля, например:
Окаймляющий его минор третьего порядка:
Оба минора четвертого порядка, окаймляющие минор , равны нулю.
Таким образом, r=3, дефект равен 1: m-r=1.
3. Клеточные матрицы
Разобьем исходную матрицу на блоки или клетки, или подматрицы
Клетки:
Тогда
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 2389;