КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Мы помним, что вероятность – это численная мера возможности

Под словами «определение вероятности» мы будем понимать не формулировку, мол, что это такое, а способ установления этой численной меры.

Мы уже рассмотрели статистический способ определения вероятности, т.е. через частоту. Он прост и понятен.

Но определять вероятность, проводя многократные опыты, часто крайне затратно.

Поэтому рассмотрим другие подходы к определению вероятности.

Первым рассмотрим классическоеопределение вероятности.

Этот способ состоит из трёх положений.

1) Пространство элементарных исходов W состоит из N равновозможных элементарных исходов.

.

N – конечное число (это непременное условие!).

2) Вероятность любого i-ого элементарного исхода определяется просто как:

.

Ещё раз подчеркнём: исходы равновозможны, следовательно, равновероятны.

3) Вероятность любого события A определяется как

,

где k – число элементарных исходов, из которых состоит событие А.

Чисто внешне последняя формула похожа на формулу для частоты, но в ней всё другое:

в числителе – не число выпадений события A в последовательности опытов, а число благоприятных исходов, возможных в условиях данного опыта,

в знаменателе – не число опытов, а общее число элементарных исходов.

При таком подходе для определения вероятности нет необходимости в проведении многочисленных опытов.

Достаточно 1) убедиться в равновозможности всех исходов, 2) убедиться в конечности их числа, 3) подсчитать число благоприятных исходов среди всех и 4) разделить на их общее число.

Так для ровной, непогнутой монеты можно сразу сказать, что вероятность выпадения орла равна 1/2.

А вероятность вытащить короля бубей из полной колоды равна 1/52.

7.7. СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ.
ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ

Свойства вероятности очень похожи на свойства частоты.

Свойство 1.

Для любого случайного события A

.

Свойство 2.

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

Свойство 3.

Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

Свойство 4.

Если A и B – несовместные события, т.е. ,

то .

В этой последней записи между вероятностями стоит знак арифметического сложения, потому что вероятность это число. А внутри скобок – знак суммы событий. У этих знаков разные смыслы.

Несколько особняком стоит свойство 5.

Свойство 5.

Если A и B – независимые события, т.е. такие, что вероятность любого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет,

то вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

И 4-е, и 5-е свойства можно распространить на случай нескольких событий.

Рассмотрим 4-е свойство:

Если события А_1, А₂, …, А_n попарно несовместны, т.е.

при ,

то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_i) … + P(A_n).

Теперь подошло время познакомимся с одним математическим обозначением, которое оказывается удобным, когда в записи формулы возникает много слагаемых, похожих друг на друга.

Если посмотреть на формулу для вероятности суммы событий, то видно, что в ней складываются «А» с изменяющимися порядковыми номерами внизу:

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n

Номера идут от 1 до n. Обобщённый промежуточный номер обозначен номером i.

Для более краткой записи такой длинной суммы рисуют большую греческую букву «сигма», означающую сумму, а после неё обобщённое промежуточное слагаемое с номером i. Сверху и снизу знака суммы пишут, в каких пределах изменяется этот номер i, т.е. от 1 до n.

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n =

Очевидно, что запись суммы похожих слагаемых становится короче, хотя такая запись и непривычна. Но мы ею будем пользоваться в дальнейшем для краткости.

Рассмотрим, как с использованием этой записи будут выглядеть записанная нами прежде формула: