ПР№8. «Приближенное вычисление по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона»

ТЕМА 9

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 -го порядканазывается выражение вида , т.е. уравнение, содержащее неизвестную, искомую функцию y=y(x) и ее производную.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в верное тождество.

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной х и произвольной независимой постоянной С . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).

Определение:Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего

условию (4)

где числа – заданные числа, называется задачей Коши. Условие (4) называется начальным условием.

Решение уравнения , удовлетворяющее начальному

условию (4), называется решением задачи Кошии записывается в виде

. (5)

Решить задачу Коши (5) означает найти интегральную кривую дифференциального уравнения, которая проходит через заданную точку .

Примеры.

Пример№1: Решить дифференциальные уравнения:

а); б) .

Решение:

а) Приведём уравнение к виду ; .

Интегрируем обе части уравнения: ; .

Ответ: .

б) Приведём уравнение к виду : ; .

разделим обе части уравнения на : .

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

; .

Применим основное логарифмическое тождество или ,

получим

или .

При делении на могли быть потеряны решения . Очевидно, что является решением данного уравнения при C=0, а – нет. Таким образом, формула , где С – произвольная постоянная, задаёт все решения данного уравнения.

Ответ: .

Пример №2: Найдите решения задачи Коши: а) б)

Решение:

а) Найдём общее решение дифференциального уравнения.

; .

Интегрируем обе части уравнения: ; .

– общее решение дифференциального уравнения.

Подставим начальное условие в общее решение, получим

.

Так как по условию , то С=1. Тогда частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид .

Ответ: .

б) Найдём общее и частное решение дифференциального уравнения.

; .

Интегрируем обе части уравнения: ; .

– общее решение дифференциального уравнения. Подставим начальное условие в общее решение, получим .

Так как по условию , то –1+С=3, С=4. Тогда частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид .

Ответ: .