Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

Если уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где – константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:

Пример.Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:


– получены сопряженные комплексные корни

Ответ: общее решение:

Пример.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ,

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие :

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение:

Далее берём наше общее решение и находим производную:

Используем второе начальное условие :
Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: или просто

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

Подставим найденные значения констант в общее решение :

Ответ: частное решение:

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

Составим и решим характеристическое уравнение: . Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:

Характеристическое уравнение

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

Характеристическое уравнение здесь

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Примеры для самопроверки.

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

;