Решите следующие задачи.

1. Решите дифференциальные уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Найдите решения задачи Коши:

а) в) д)

б) г)

Дифференциальное уравнение второго порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую и вторую производную функции

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

2.Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:

, где – константы.

Пример.Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

,

Ответ: общее решение: