Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
Сначала формула в общем виде. Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами.
Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .
Пример .Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.
а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение:
а)
По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называют шагом.
Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:
Ну а общая формула трапеций сокращается:
Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:
Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой.
Окончательно:
С геометрической точки зрения мы вычислили сумму площадей трёх трапеций (см. рис. выше).
б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно?
Если , то формула трапеций принимает следующий вид:
Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.
При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:
В результате:
Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть! Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило , то для 5 отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 373;