Правило дифференцирования сложной функции

Понятие производной функции.

Определение: Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Производной функции ƒ (x) в точке x₀называется отношение приращения функции ∆ƒ (x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x₀).

Итак, (1)

Производную функции y = ƒ (x), x є ( a;b ) в точке x обозначают ƒ’(x), y’(x), , , причём все эти обозначения равноправны.

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Функция, имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a;b).

Правила дифференцирования

1) 3) , ;

2) , 4) ,

где u и υ - дифференцируемые функции переменной x, C - константа.

Правило дифференцирования сложной функции

Пусть дана сложная функция , где . Если функция дифференцируема в некоторой точке х₀, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке х₀ имеет производную, которая находится по формуле

или

Таблица производных основных элементарных функций

,