ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОМ КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ

БОКСА-УИЛСОНА

Цель работы.

Задача оптимизации ставится таким образом: необходимо определить экспериментально координаты экстремальной точки для заданной функции.

Основные положения.

Решение оптимизационной задачи в общем случае заключается в определении таких значений входных переменных исследуемого объекта, которым соответствует наилучшее (минимальное или максимальное) значение целевой функции. Технологические системы, как правило, являются многомерными, с большим количеством входных факторов, на значение которых к тому же накладываются дополнительные ограничения. Это требует использования методов многомерной условной оптимизации. Многие из данных методов, однако, предполагают сведение задачи к безусловной оптимизации путем преобразования целевой функции с дальнейшим применением соответствующих процедур. Поэтому изучение методов поиска экстремума функций нескольких переменных без ограничений является не менее важной задачей.

В процессе планирования эксперимента при поиске оптимума нередко требуется определить такие значения факторов, которые соответствуют максимуму или минимуму функции отклика y. На значения факторов могут накладываться ограничения, например, они должны удовлетворять условию совместимости, а их значения должны находиться в области определения Ω. Эксперименты, приводящие к достижению максимума или минимума функции отклика y, называются экстремальными или оптимизационными.

Задача оптимизации методами теории планирования эксперимента решается в два этапа [3]. На первом этапе осуществляется выход из произвольной области ω_i факторного пространства в область стационарной точки максимума или минимума, применяется полный факторный эксперимент с минимально необходимым учетом эффектов взаимодействий. На втором этапе движение к точке оптимума осуществляется видоизмененным методом градиента, который называется методом крутого восхождения.

Для наилучшего понимания сущности и особенностей методов оптимизации рассмотрим постановку задачи многомерной безусловной оптимизации, аналитический анализ целевой функции, теоретические основы часто используемых на практике численных методов – метода крутого восхождения, симплекс-метода и метода Хука и Дживса [5].

Постановка задачи.

Пусть задана функция n действительных переменных

определенная на множестве где - вектор-столбец, обозначающий точку в n-мерном евклидовом пространстве с координатами .

Функция имеет локальный минимум в точке если существует окрестность точки такая, что во всех точках этой окрестности. В случае глобального минимума в точке для всех справедливо неравенство .

Задача оптимизации - это задача максимизации или же минимизации целевой функции. Будем рассматривать задачу отыскания точек минимума функции , то есть Для приведения же задачи максимизации к задаче минимизации достаточно изменить знак целевой функции.