Виды средних степенных величин

Средние величины делятся на две основные категории (степенные и структурные).

При расчете средних степенных используют следующие элементы:

Варианта(X) - Признак, для которого исчисляется средняя величина, является варьирующим,осредняемым. Единицы варьирующего признака, принимающие определенное числовое выражение, есть варианты.

Число единиц (n) - Количество вариант в исследуемой совокупности.

Веса, частоты (f) - Показатели повторяемости вариант в исследуемой совокупности.

В общем виде формула степенной средней имеет вид:

- cредняя степенная простая,

- средняя степенная взвешенная,

где к- показатель степени.

Средняя степенная простая применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности один или одинаковое число раз. Средняя степенная взвешенная применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности неодинаковое число раз, т.е. по сгруппированным данным.

Степенные средние (гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая, кубическая, биквадратическая и т.д) могут быть определены по формулам, зависящим от значения показателя степени применяемой средней. С увеличением показателя степени к соответственно увеличивается средняя величина.

1. Средняя гармоническая : к=-1;

простая: ,

взвешенная: ,

где ;

x_i – индивидуальное значение признака, вариант;

f_i – частота , или статистический вес варианта;

n - число единиц совокупности;

Средняя гармоническая применяется в случае, если известны варьирующие обратные значения признака. Ее часто рассматривают как величину, обратную средней арифметической.

2. Средняя геометрическая: к=0;

простая: ,

взвешенная: ,

где П – знак умножения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

3 Средняя арифметическая: к=1;

простая: ,

взвешенная: .

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных ее единиц.

4 Средняя квадратическая: к=2;

простая: ,

взвешенная: .

Средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации.

Для одной и той же совокупности существуют строго определенные соотношения между разными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантности средних . Правило мажорантности средних величин (чем выше степень, тем больше величина средней) можно записать в виде:

Средняя величина, являясь характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на итоговый (определяющий) показатель, связанный со всеми единицами совокупности (объем затрат, выручки, фонд зарплаты и т.д.). При замене индивидуальных значений признака их средней величиной определяющий показатель должен сохранять свое значение (средняя арифметическая – общий объем, средняя гармоническая – итоговая величина, обратная индивидуальным значениям признака, средняя геометрическая – сумма произведений исходных величин,средняя квадратическая–сумма квадратов исходных величин).

Методика расчета средних степенных приведена в табл. 1.6

Таблица 1.6

Методика расчета средних степенных

Вид средней	Формулы расчета показателей
Простая средняя	Взвешенная средняя
Средняя гармоническая
Средняя геометрическая
Средняя арифмети­ческая
Средняя квадратическая
Средняя кубическая
Средняя биквадратическая
Средняя к-ой степени