Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации одного признака зависит от варьирования другого признака.

При линейной связи коэффициент детерминации представляет собой .

При нелинейной связи он представляет собой .

В качестве примера парного корреляционного анализа приводим результаты изучения зависимости урожайности озимой пшеницы в Луганской области (y) от 48 переменных (x₁-x₄₈).

За независимые переменные принимали среднемесячные температуры года сбора урожая (x₁₃-x₂₄) и предшествующего ему года (х₁-х₁₂), а также месячные суммы осадков за эти же годы (х_25-х₄₈). Заметим, что предшествующий году сбору урожая год для озимых культур является годом их посева.

В системеSTATISTICA создаем базу данных, а потом находим всю совокупность парных коэффициентов корреляции. Особый интерес для нас имеют коэффициенты корреляции урожайности (y) с 48 независимыми переменными (x₁-x₄₈). Они приведены в табл. 2 с указанием уровней значимости.

Корреляция урожайности с независимыми переменными слабая. Положительные коэффициенты корреляции урожайности и температуры воздуха установлены по январю, февралю и марту года сбора урожая, а также по декабрю предшествующего года. Это значит, что чем теплее зима и начало весны (во время перезимовки озимых культур), тем выше урожайность озимой пшеницы. Напротив, корреляции урожайности и температуры воздуха за май и летние месяцы года сбора урожая были отрицательными. Чем прохладнее май и последующее лето, тем выше урожайность озимой пшеницы и, наоборот, чем жарче май и лето, тем она ниже. Результат ожидаемый, поскольку зима у нас для озимой пшеницы иногда слишком морозная, а лето – излишне жаркое.

В расположенной в засушливой зоне Украины Луганской области озимая пшеница на втором году жизни обычно ощущает недостаток влаги, и потому почти во всех случаях положительно реагирует на увеличение осадков (табл. 1). Особенно большие положительные корреляции урожайности с осадками установлены по апрелю, маю, июню и июлю года сбора урожая (табл. 1).

Эти месяцы охватывают практически весь вегетационный период этой культуры на втором году жизни (в год сбора урожая). При этом максимально большой коэффициент корреляции найден по паре признаков: урожайность-сумма осадков за июнь (r=0.37). Почти такая же по абсолютному (r=-0.38), но иная по знаку корреляция была обнаружена при рассмотрении пар признаков: урожайность-средняя температура июня (табл. 1). Напомним в этой связи, что как уже отмечалось, июньская температура и осадки связаны значимой отрицательной корреляцией (r=-0.43), то есть чем больше осадков в июне, тем этот месяц прохладнее. Аналогичная связь, хотя и менее тесная, характерна также для июля, августа и сентября.

Таблица 2

Коэффициенты парной корреляции (r₁-r₄₈)и множественной регрессии (а₁-а₄₈)урожайности озимой пшеницы (у) с температурой воздуха и осадками (x₁-x₄₈)

Примечания * - параметр значим при 0.95<P<0.99, ** - при 0.99<P<0.999

Коэффициент детерминации изменчивости урожайности озимой пшеницы июньской температурой r²=0. 144 (14%).

На основании этих результатов можно сделать заключение: для получения высоких урожаев озимой пшеницы в Луганской области определяющее значение имеет июнь месяц года сбора урожая. Чем больше осадков в июне и чем он прохладнее, тем выше урожайность, и наоборот, чем меньше июньских осадков и чем жарче июнь, тем урожайность ниже. В меньшей степени это касается и мая года сбора урожая (табл. 1).

На первый взгляд кажется удивительным, что урожайность озимой пшеницы значимо коррелирует с декабрьской суммой осадков года сбора урожая (табл. 1). Эти осадки выпадают уже после сбора урожая, и поэтому не могут прямо влиять на урожайность. Понять наличие такой связи можно, рассмотрев корреляцию декабрьских осадков с другими переменными. Сумма осадков декабря месяца положительно и значимо связана с осадками апреля (r=0.26) и июня (r=0.28), а те, как уже отмечалось выше, положительно влияют на урожайность (табл. 1).

Сказанное в предыдущем абзаце – хороший пример того, что корреляционная связь не обязательно должна быть причинно-следственной.

В общем, на урожайность озимой пшеницы в целом влияет комплекс природных экологических факторов – среднемесячные температуры и месячные суммы осадков (48 переменных). Степень влияния на урожайность этих переменных неодинаковая, и они в той или иной степени коррелируют друг с другом.

Поскольку количество влияющих на интересующий нас признак факторов или независимых переменных велико, трудно точно оценить силу (степень) влияния отдельных факторов, индивидуализировать их влияние, нередко и доказать значимость отдельных влияний. Однако в подобной ситуации в этом и нет особой необходимости. Важнее оценить влияние всех факторов вместе, для чего и предназначен множественный корреляционно-регрессионный анализ, рассматриваемый в следующей лекции.