а) система Y-коэффициентов

Пусть воздействиями являются напряжения, а искомыми (откликами) будут токи. При такой постановке задачи токи представляют собой некоторые функции напряжений т.е.

(5.1)

Соответствующие изменения токов определяются полными дифференциалами:

(5.2)

(5.2а)

Входящие в эти уравнения в качестве коэффициентов частные производные имеют размерность проводимости и называются Y-коэффициентами четырехполюсника.

Введем обозначения:

Тогда уравнения (5.2) и (5.2а) можно переписать так

(5.3)

(5.3а)

Полученные дифференциальные соотношения справедливы при любой форме колебаний и любом виде цепи. Особый интерес представляет рассмотрение случая линейной цепи в режиме гармонических колебаний. В этом случае соотношения (5.3) и (5.3а) записываются для комплексных амплитуд напряжений и токов, т.е.

(5.4)

(5.4а)

Комплексные Y-коэффициенты могут быть определены по результатам двух опытов: 1)при коротком замыкании выхода и при питании четырехполюсника слева (рис.5.2а); 2) при короткозамкнутом входе и при питании четырехполюсника справа (рис.5.2б). Они могут быть определены экспериментально или теоретически рассчитаны по следующим формулам:

.

Систему уравнений (5.4), (5.4а) можно записать в более компактной (матричной) форме:

, (5.5)

где - матрица проводимостей, или Y-матрица.

Для пассивного четырехполюсника, т.е. четырехполюсника, внутри которого нет источников энергии, выполняется соотношение

y₁₂=y₂₁ (5.6)

В симметричном четырехполюснике

y₁₁=y₂₂, (5.7)

т.е. в симметричном пассивном четырехполюснике входная и выходная проводимости равны между собой.

Уравнения, связывающие токи входа и выхода с напряжениями входа и выхода записываются в виде

(5.8)

(5.8а)

Z-коэффициенты определяются из опытов холостого хода на входе и выходе.

Когда четырехполюсник выполняет роль промежуточного звена между источником и сопротивлением нагрузки, заданными величинами часто являются параметры нагрузки а искомыми величины, характеризующие режим на входе четырехполюсника ( ), что соответствует системе уравнений типа А:

(5.9)

(5.9а)

Для рассматриваемой задачи, когда выход четырехполюсника подключен к нагрузке, целесообразно положительные направления напряжений и токов выбрать такими, какие приняты в схеме на рис. 5.2.

Рис. 5.2

Значения каждого из A-коэффициентов определяются из двух опытов: опыта холостого хода выхода (I₂ =0) и опыта короткого замыкания выхода (U₂=0).

Основные уравнения четырехполюсника в А-коэффициентах можно записать в матричной форме

где (5.10)

Когда заданными являются комплексные амплитуды тока на входе и напряжения (вариант 4, табл 5.1), , искомые величины , и могут быть найдены, если выразить основные уравнения четырехполюсника в так называемых h-коэффициентах:

(5.11)

(5.11а)

Значения каждого из h-коэффициентов определяются из двух опытов: короткого замыкания выхода (U₂=0) и холостого хода первичной цепи (I₁=0).

В том случае, когда задаются величины и (вариант 5, табл 5.1), остальные две величины из уравнений

(5.12)

. (5.12а)

Входящие так называемые f-коэффициенты могу быть найдены из двух опытов: холостого хода вторичного тока (I₂=0) и короткого замыкания на входе (U₁=0).

Последний возможный вариант записи основных уравнений четырехполюсника (вариант 6, табл 5.1):

(5.13)

(5.13а)

Значения b-коэффициентов определяются опытами холостого хода входной цепи (I₁=0) и короткого замыкания входа (U₁=0).

Последние три системы уравнений могут быть записаны в матричной форме подобно (5.10).

Выбор того или иного типа уравнений четырехполюсника зависит исключительно от той или иной задачи, которая в данном случае решается. Уравнения типа h, например, часто применяется при рассмотрении схем с транзисторами, так как режим транзистора определяется входным током I₁ и выходным напряжением U₂.

Соотношения между элементами различных матриц даны в таблице5.2. Таблица 5.2.

Из системы→ В систему↓	Z	A	h	f	b
Z
Y
A
h
f
b

Примечание.

.

5. 3 Матрицы сложных четырехполюсников.

Сложный четырехполюсник может быть образован в результате соединения между собой нескольких, в частности, двух четырехполюсников. Если известны коэффициенты каждого из составляющих четырехполюсников, могут быть рассчитаны коэффициенты результирующего (эквивалентного) четырехполюсника. Этот расчет проще всего производить, оперируя с уравнениями в матричной форме.

Рассмотрим основные соединения четырехполюсников.

а). Наиболее важным соединением четырехполюсников является каскадное соединение, когда выходные зажимы первого четырехполюсника соединяются с входными зажимами второго (рис. 5.3).

При каскадном соединении выходное соединение первого четырехполюсника равно входному соединению второго, а выходной ток первого четырехполюсника равен входному току второго четырехполюсника, т. е.

(5.14)

а) б)

Рис.5.3
Выразим уравнения исходных четырехполюсников через А-коэффициенты

Используя свойства каскадного соединения (5.4), запишем

Таким образом, матрица сложного четырехполюсника (рис.5.3а) равна произведению матриц соединенных четырехполюсников:

(5.15)

б) Последовательное соединение.

Под последовательным соединением понимается такое включение, при котором как входные, так и выходные их зажимы включены последовательно (рис.5.4а).

а) б)

Рис.5.4

Выразим уравнения исходных четырехполюсников через Z-коэффициенты. Тогда получим

(5.16)

(5.17)

Результирующие напряжения и токи на входе и выходе при последовательном соединении будут:

Поэтому, складывая (5.16) и (5.17), получим

(5.18)

Таким образом, при последовательном соединении, т.е. Z-матрица результирующего четырехполюсника (5.4б) равна сумме Z-матриц исходных четырехполюсников. Отсюда следует, что при расчете цепи последовательно соединенных четырехполюсников удобно пользоваться системой Z-коэффициентов.

в) Параллельное соединение.

При последовательном соединении как входные, так и выходные зажимы четырехполюсников соединяются параллельно (рис.5.5а)

а) б)

Рис. 5.5

Используя систему Y=коэффициентов, запишем уравнения исходных четырехполюсников:

(5.19)

(5.20)

Так как в рассматриваемой схеме , , то, складывая (5.19) и (5.20), получим уравнение сложного четырехполюсника (рис. 5.5б):

(5.21)

Отсюда следует, что

При параллельном соединении Y-матрица сложного четырехполюсника равна сумме Y-матриц исходных четырехполюсников.

г) Последовательно-параллельное соединение.

В этом случае входные зажимы исходных четырехполюсников соединяются последовательно, а выходные – параллельно (рис.5.6а)

а) б)

Рис.5.6

Теперь воспользуемся системой h-коэффициентов и запишем уравнения четырехполюсников в виде:

(5.22)

(5.23)

В схеме последовательно-параллельного соединения

.

Поэтому для результирующего четырехполюсника (рис.5.6б) получим

Таким образом

д) Параллельно последовательное соединение.

В рассматриваемой схеме (5.7а) входные зажимы исходных четырехполюсников соединены параллельно, а выходные – последовательно (рис.5.7а).

б)

а)

Рис.5.7

Если в этом случае воспользоваться системой f-коэффициентов, уравнения примут вид

(5.24)

(5.25)

Из схемы на рис.5.6 следует , .

Поэтому, суммируя (5.24) и (5.25), для результирующего четырехполюсника (рис.5.7б) найдем

(5.26)

Таким образом