Множественная корреляция

Простейшим случаем множественной корреляции является корреляция трех признаков: Х, Y и Z. Тесноту связи одного из них Y (зависимая переменная) от двух других Х и Z (независимых переменных) характеризует коэффициент множественной корреляции:

,

где r_xy, r_xzи r_yz– коэффициенты линейной корреляции между парами признаков Х и Y, Х и Z, Y и Z.

В последнее время чаще зависимую переменную обозначают буквой y, тогда как независимые х₁, х₂ и т.д.

Уравнение для вычисления коэффициента множественной линейной корреляции (R) легко обобщается на любое число переменных.

Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1 (0<=R<=1). Значимость этого совокупного коэффициента корреляции оценивают разными способами, в том числе и по F-критерию (Доспехов, 1985):

F= ,

где n – объем выборки,

k – число признаков (число всех, зависимой и независимых переменных).

F_st определяют по табл. для n₁=k-1 и n₂=n-k.

Нулевая гипотеза принимается, если F<F_st.

R указывает, насколько сильно зависит одна (зависимая) переменная от всех других, учтенных при подсчете R независимых переменных.

Пример вычисления множественной корреляции.

Тот же, что и при вычислении парных корреляций.

Анализ множественной корреляции позволяет оценить суммарное влияние 48 учитывавшихся независимых переменных (температура воздуха и сумм осадков за каждые из 24 месяцев) на урожайность пшеницы.

Коэффициент множественной линейной корреляции очень большой (вычисляли в пакете программ STATISTICA) R=0.967 и значимый (р=0.018). Можно говорить об очень тесной связи урожайности с независимыми переменными.

Коэффициент множественной линейной детерминации, являющийся квадратом коэффициента множественной линейной корреляции R², тоже очень велик (R²=0.9352).

Иначе говоря, почти 94% (точнее 93.52%) изменчивости по годам урожайности озимой пшеницы в Луганской области определяется погодными условиями, а именно температурой и осадками. Температура и осадки – главные лимитирующие факторы, детерминирующие урожайность озимой пшеницы.

Все другие, не учтенные в данном исследовании факторы вместе детерминируют 100-93.52=6.48% изменчивости урожайности озимой пшеницы по годам. Среди этих факторов такие природные экологические факторы как скорость ветра, снеговой покров, минимальные температуры зимой и максимальные летом, ледяная корка, град, запасы влаги в почве и другие. Отсутствие снегового покрова и ледяная корка увеличивают вероятность повреждения, а то и гибели посевов озимой пшеницы при перезимовке, и поэтому могут снижать ее урожайность. Сильный ветер и град приводят подчас к полеганию пшеницы и недобору урожая. Однако добавление в математическую модель этих факторов не может значительно увеличить R и R², которые и так уже очень велики (R и R² в принципе не могут быть равны или больше 1). Неучтенные нами природные экологические факторы в той или иной мере коррелируют с организованными в настоящем исследовании независимыми переменными, и поэтому отчасти уже «учтены». Значительное увеличение R и R² при добавлении независимых переменных произойти не может, но небольшое увеличение ожидается. По изложенным соображением наши оценки степени влияния независимых переменных (температуры и осадков) на урожайность озимой пшеницы можно принимать за минимальные оценки степени или силы влияния всех погодных факторов.

В эти же 6.48% укладывается влияние ряда антропогенных факторов (фондо- и энергообеспеченность, объемы использования удобрений и пестицидов, сорта, изменения в организации производства, структуре посевных площадей, площадей под орошением и др.). Анализ относительной роли этих факторов выходит за рамки настоящей лекции.

До этого исследования считалось, что все факторы внешней среды (погодные флуктуации, «капризы природы») обусловливают лишь 60-80% изменчивости урожайности. В действительности это число больше.