Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке , если приращение функции представимо в виде

,

где ― некоторое действительное число, зависящее от , а - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной

.

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .

Определение.Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Действительно, полное приращение данной функции в любой точке R² имеет вид

Положив , , , , получим представление в виде (1), так как и в фиксированной точке будут постоянными, а

, .

Условие дифференцируемости функции в точке можно записать в виде:

, (2)

где — расстояние между точками и :

.

При этом .

Очевидно, что если и , то и , и наоборот, если , то и , а следовательно, и стремятся к нулю. Тогда в равенстве (1) сумму можно переписать в виде

,

так как , и .

Справедливо и обратное утверждение: из представимости в форме (2) следует равенство (1), т. е. условия дифференцируемости (1) и (2) функции в точке эквивалентны.

В равенствах (1) и (2) слагаемое , линейное относительно и , называют главной частью приращения функции, так как оставшееся слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , при и .

Установим теперь связь между дифференцируемостью и непре­рывностью функции двух переменных.

Теорема.Если функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Действительно, по определению функции, дифференцируемой в точке , ее приращение представимо в виде

,

где , , и — некоторые числа, не зависящие от и .

Следовательно,

,

а это означает, что функция непрерывна в точке .

Теорема доказана.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , .

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке ,тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1) ,имеем . Разделив это равенство на и перейдя к пределу при , получим

.

Следовательно, в точке существует частная производная .

Аналогично доказывается существование частной производной в точке

Теорема доказана.

Утверждения, обратные утверждениям данных теорем , неверны, т. е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.

Например, функция непрерывна в точке О(0; 0), но не имеет в этой точке частных производных. Действительно,

.

Функция не имеет предела при . Следовательно, (0; 0) не существует.

Аналогично доказывается, что не существует (0; 0).

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , на нее налагают условия более жесткие, чем существование частных производных.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке , причем формулу (1) можно представить в виде:

.

Определение.Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.

Например, функция дифференцируема в любой точке R² так как ее частные производные и всюду непрерывны.

Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным усло­вием ее дифференцируемости в этой точке.

Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично. Дадим, например, определение дифференцируемости функции трех переменных. Функция ,определенная в ,называется дифференцируемой в точке ,если ее полное приращение представимо в виде

,

где , и — некоторые постоянные, зависящие от , и ; , и —бесконечно малые функции при , и .

Определение. Функция любого числа переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.