Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул

Закон доказан Л.Больцманом[26] методом классической статистической физики, исходя из предположения, что движение молекул подчиняется законам классической механики:

Для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степени свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная ,

где – постоянная Больцмана[27].

Если молекула имеет степеней свободы, то её средняя кинетическая энергия равна: .

Закон Больцмана лежит в основе всей теоpии идеальных газов. Однако, закон оказался неточным, т.к. молекулы – квантовые частицы.

1.10. Закон Максвелла[28] о распределении молекул идеального газа по скоростям

Понятие о функции распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей– функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем , где – произвольное действительное число.

Функция распределения, основное понятие статистической физики; характеризует плотность вероятности распределения частиц статистической системы по фазовому пространству т.е. по координатам и импульсам в классической статистической физике или вероятность распределения по квантовомеханическим состояниям в квантовой статистике.

Распределение Ма́ксвелла – распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию.

Функция распределения молекул идеального газа по скоростям

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число молекул однородного одноатомного идеального газа из общего числа его молекул в единице объёма имеет при данной температуре скорости, заключенные в интервале от до .

Идеальный газ – система из большого числа свободных невзаимодействующих частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении, часто сталкивающихся друг с другом. Поэтому в газе при постоянных внешних параметрах устанавливается равновесное состояние, которому соответствует определённое распределение частиц в пространстве по направлениям движения и скоростям. При равновесии средние скорости и число частиц, движущихся в разных направлениях, оказывается одинаковым, о чём свидетельствует отсутствие направленного потока газа при равновесии.

Абсолютная величина скорости молекул, а также проекции скорости на любую ось могут принимать непрерывные значения от нуля до бесконечности. Значит, должна существовать непрерывная функция распределения скоростей , показывающая относительное количество молекул, движущихся в единичном интервале скоростей со скоростью, близкой к скорости .

На языке теории вероятности, есть плотность вероятности того, что молекула имеет скорость, лежащую в интервале от до . Тогда сама вероятность описывается выражением: .

Нахождение функции распределения молекул по скоростям является главной задачей молекулярно-кинетической теории. Это объясняется тем, что согласно теории вероятности любой функции (это может быть внутренняя энергия, длина свободного пробега или любая другая функция состояния газа) определяется следующим интегралом:

.

Впервые найти функцию распределения по скоростям удалось Д.Максвеллу, который исходил из следующих предположений:

1) Идеальный газ состоит из большого числа одинаковых молекул;

2) Температура газа постоянна ;

3) Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение;

4) На газ не действуют силовые поля.

Функция распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до .

Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию –закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

,

где зависит от рода газа ( –масса молекулы) и от параметров состояния (температуры ).