Контроль по методу однократной выборки.

Метод однократной выборки заключается в том, что из контролируемой партии объёма N изделий берётся одна случайная выборка объёма “n” изделий. Заданы риски α, β. Исходя из N, n, α, β устанавливаются оценочные нормативы А₀ и А₁. Если контролируется число дефектных изделий “d” в выборке “n”, то при d(n)≤ А₀ – приём; d(n)≥ А₁ – браковка.

Надёжность партии считается высокой, если в партии объёма N имеется D₀ дефектных изделий (q₀=D₀/N) и низкой при наличии D₁ дефектных изделий (q₁=D₁/N). При заданных α и β оценочные нормативы определяются из соотношений, использующих гипергеометрическое распределение (см. 1.4.2)

;

, (12.21)

где - риск поставщика, близкий к заданному α;

- риск заказчика, близкий к заданному β.

В общем случае и из-за дискретности гипергеометрического распределения. Практическое использование формул (12.21) при n>100 весьма затруднительно. При q₀<0.1 и q₁<0.1 хорошее приближение к (12.21) дают формулы:

, (12.22)

где 𝜑=n/N – оценка плотности биномиального распределения.

Соотношения (12.22) целесообразно использовать при N≤500. Когда объём партии N>500, а также при испытаниях восстанавливаемых изделий или когда n≤0.1N можно использовать следующие формулы:

, (12.23)

где q₀ и q₁ – вероятности отказа.

Для подсчёта А₀ и А₁ при n≤500 можно пользоваться табл. П 7.11 [22]. Если соблюдаются условия n≤0.1N; q₀<0.1; q₁<0.1 то можно использовать распределение Пуассона:

, (12.24)

где a₀=q₀n; a₁=q₁n. Ошибка, возникающая при замене биномиального распределения распределением Пуассона имеет порядок q²n. Формулы (12.24) целесообразно использовать для контроля надёжности крупносерийных (n≥50) высоконадёжных устройств. Очень удобной таблицей для построения планов контроля, основанных на распределение Пуассона является таблица П.7.12 [22] , с помощью которой при заданных α иди β и А₀ или А₁ можно определить a₀=nq₀ или a₁=nq_1. При этом легко определить объём выборки, если известны q₀ и q_1, а также решить обратную задачу – найти q₀ или q_1, при заданном n.

Ниже приводиться фрагмент данной таблицы:

Таблица 12.2. Значения a=nq для заданных вероятностей распределения Пуассона

При контроле больших партий (50≤n≤0.1N) со сравнительно невысокой надёжностью (nq₀≥4) можно пользоваться приближёнными формулами:

;

, (12.25)

где Ф₀ – функция Лапласа .

Ниже приводяться типовые примеры решения задач при одиночном контроле:

Пример №1.

Партия изделий состоит из N=50 экземпляров. Партия считается хорошей, если в ней содержится не более 10% дефектных изделий, и плохой – при содержании 20% дефектных изделий. Риски поставщика и заказчика: α=β=0,1. Определить приемлемое А₀ и браковочное А₁ числа дефектных изделий в выборке объёмом n=20.

Решение.

Так как N<100, а относительный объём выборки велик (n/N=0,4), то используем гипергеометрическое распределение (12.21).

1. Число дефектных изделий при 10% дефектных изделий в партии: D₀=Nq₀=50*0,1=5; при 20% дефектных изделий D₁=Nq₁=50*0,2=10.

2. Определяем числа А₀ и А_1. Для этого по формулам (12.21) накапливаем вероятности P до тех пор, пока накопленные вероятности не приблизятся к 1-α=P(d≤A₀) и к β=P(d<A₁-1).

Имеем: P(d≤A₀)=1-α=1-0,1=0,90; Величины сочетаний (биномиальные коэффициенты) определяем по таблице П. 7.10 [22]. Далее получаем:

;

;

;

;

P(d≤3)=0,067+0,258+0,364+0,234=0,923.

Полученная величина близка к 1-α=0,90, т.е. фактический риск поставщика близок к принятому: . Поэтому A₀=3. Аналогичным образом рассчитываем поправочное число A₁:

;

;

;

P(d≤2)=0,003+0,028+0,096=0,127.

Следовательно с риском , близким к первоначальному установленному β=0,1 при d₁=2 дефектных изделий в выборке партию можно принять, а при d₁=3 – браковать (β=P(d₁≤A₁-1), A₁=d₁+1=2+1=3).

В данном случае А₀=А₁=3. Это означает, что одиночный контроль не может производится одновременно в интересах поставщика и заказчика. Защита интересов потребителя может привести к требованию браковочного числа, меньшего, чем приёмочное число при контроле в интересах поставщика. Обоюдно малый риск при браковочном числе, на единицу превышающем приёмочное, может быть получен в том случае, когда D₁ существенно больше D₀.

Пример № 2.

Контролю надёжности подлежит партия N=200 изделий. Определить приёмочное А₀ и браковочное А₁ числа дефектных изделий в выборке их n=40 изделий. Партия считается хорошей, если в ней содержится 5% и плохой – если 10% дефектных изделий. Риск поставщика α=0,20; риск заказчика β=0,1.

Решение.

Учитывая относительно большой объём контролируемой партии и небольшие значения доли дефектных изделий. Целесообразно производить решение, исходя из f-биномиального распределения, в соответствии с формулами (12.22)

1. Рассчитываем величины f, D0, D1:

f=n/N=40/200=0,2; D₀=Nq₀=10; D₁=Nq₁=20;

2. Определяем числа A₀ и А₁ суммированием вероятностей f-биномиального распределения до величин, близких к α и β.

Имеем: P(d≤A₀)=1-α=1-0,2=0,8;

Вычисляем вероятности P(d) и суммируем их:

;

;

;

;

P(d≤2)=0,107+0,268+0,320=0,695;

P(d≤3)=0,107+0,268+0,320+0,202=0,897.

Таким образом можно принять приёмочное число А₀=2 с риском поставщика или А₀=3 с риском поставщика . Если требуется фактический риск приблизить к заданному, то это можно сделать при постоянных объеме партии и доле дефектных изделий в ней, варьируя объёмами выборки и приёмочными числами. Аналогичным образом рассчитываем браковочное число А₁:

;

;

;

P(d≤1)=0,01+0,058=0,068;

P(d≤2)=0,01+0,058+0,137=0,202.

Таким образом, целесообразно считать браковочным числом А₁=2, тогда риск заказчика будет более близким к установленному.

Пример № 3.

С целью контроля надёжности проведены испытания 20 (n=20) восстанавливаемых объектов, при этом зарегистрировано 2 отказа (d=2). Необходимо решить, принять партию или забраковать, если контроль производится в интересах заказчика. Партия считается плохой, если q₁≥0,1 (вероятность отказа). Решение должно быть принято с риском β=0,08.

Решение.

Исходя из условия задачи, контроль может быть произведён по биномиальному плану с помощью 2-ой из формул (1.2.23). Процедура решения сводится к накапливанию вероятностей до тех пор, пока кумулятивная вероятность станет близкой к заданному риску β. Сравнение числа отказов “d”, полученных при испытании с вычисленным браковочным числом А₁ позволит принять решение:

Если d< А₁, то партия принимается,

Если d≥ А₁, то партия бракуется.

Используя таблицу П7.11 [22] определяющую вероятность “d” или меньшего количества дефектов изделий для биномиальных распределений, параметрами которой является n,q₁,d находим, что для n=20, q₁=0.1, d=2 находим =0.68, что значительно превышает заданный риск. Из этой же таблицы видно, что при n=20, q₁=0.1, d=0 вероятность составляет 0.12. Значит, принимая партию при d=0, риск приёмки плохой партии будет равен 0.12.

Пример № 4.

Из неограниченно большой партии изделий извлечена выборка объёмом n=50 изделий, которая испытана с целью контроля надёжности в интересах поставщика. Партия может быть принята с риском α=0.15, если вероятность отказа каждого изделия составляет q₀=0.02. Определить приёмочное число А₀.

Решение.

Так как партия неограниченно большая, то испытания независимы, это позволяет использовать биномиальный закон распределения и определять А₀ по 1-ой из формул (12.23) или табл. П7.11 [22]:

Используя таблицу, при n=50, q₀ =q₁=0.05 вероятность 3 или меньшего количества изделий (d≤3) составляет 0.76, а для d≤4 – 0.90. Следовательно, приёмочное число можно взять А₀=3, при этом риск поставщика составит =1-0,76=0,24, или взять А₀=4, тогда =1-0,9=0,1.

Пример № 2.

Установлены следующие параметры плана контроля. Приёмочное число А₀=0, риск поставщика α=0,1 и вероятность безотказной работы q₀=0,01.

Определить объём выборки, потребной для осуществления контроля по плану, основанному на распределении Пуассона.

Решение: используем формулы (12.24) или табл. П7.11 [20] для А₀=0 и α=0,1 находим a=0,10536; по формуле n=a/q и заданному q₀ определим объем выборки n=0,10536/0,01=11 единиц.

Пример № 6.

Для контроля надёжности в интересах заказчика выделена выборка n=40 штук. Установлены значения β=0,05 и браковочное число А₁=2. Определить верхнее значение вероятности отказа в случае приёмки партии при d=1.

Решение: используем формулы (12.24) или табл. П7.11 [22] для А₁=0 и β=0,05 находим a=4,74; По полученному “a” и заданному “n” находим: q₁=a/n=4,74/40=0,12.

Пример № 7.

Партия проверяется в интересах поставщика с допустимым риском α=0,1. Приемлемая вероятность отказа q₀=0,12. В результате испытаний получено d=8 отказов. Требуется произвести контроль партии изделий, выборка из которой объёмом n=100 экземпляров составляет незначительную долю (n/N<0,1).

Решение: для определения пригодности партии можно использовать формулу (12.25), полученную исходя из нормального закона. Подсчитаем величину z, подставив в формулу (12.25) значения “d” вместо А₀:

Определяем функцию Лапласа Ф₀(1,85)=-0,468 (см. таблицу Ф(z)). По формуле (12.25) находим =0,5-Ф₀(1,85)=0,5+0,468=0,968. Следовательно при А₀=d=8 браковка партии приводит к риску поставщика значительно превышающему заданный α=0,1. Для уменьшения риска нужно брать А₀>>8. Нетрудно подсчитать, что А₀=20 и при d=8 в данном примере партия может быть принята. (d(n)< А₀).