Последовательный метод контроля надёжности.

Последовательный метод контроля не предусматривает предварительного определения объёма выборки. Задаются два уровня надёжности D₀ и D₁ и риски α и β. Информация о надёжности испытываемых изделий накапливается при последовательно возрастающем объёме испытаний m=n₁+n₂+…+n_m определяется отношение правдоподобия γ_m и сравнивается с заранее определёнными оценочными нормативами A=(1- β)/ α; B= β/(1- α). Эти нормативы определяются на основании статистической теории оценивания. Отношение правдоподобия . Если

При последовательном контроле возможны два способа контроля:

- контроль числа дефектных изделий;

- контроль по наработке.

Рассмотрим эти виды контроля.

1. Контроль числа дефектных изделий.

Если контролируется малосерийная партия объёмом N<150 и d_m- число дефектных изделий в выборке объёма “m”, то γ_m определяется с использованием гипергеометрического распределения:

. (12.26)

Здесь D₀ – число дефектных изделий в партии хорошей надежности, D₁ – число дефектных изделий в партии плохой надёжности (D₀ и D₁ задаются).

Формула (12.26) приводит к сложным расчетам. Более удобной и достаточно точной является формула, использующая 𝜑 – биномиальное распределение:

, (12.27)

где ; ; .

Для облегчения процедуры контроля можно заранее подсчитать для определённых значений d_m=0,1,2,3… приёмочные (m_пр) и браковочные (m_бр) объёма испытаний:

(12.28)

(12.29)

Рассчитанный таким образом план контроля может быть представлен в табличной или графической форме. На рис.12.8. показан график контроля, где область “П”, лежащая выше линии 1, - область приёмки, область “Б”, лежащая выше линии 2, - область браковки, область “ПИ”, заключённая между линиями 1,2 и осями координат, - область продолжения испытаний.

Рис. 12.10

Графики контроля можно строить по трём точкам:

а) d_m=0, ;

б) d_m=D₀, ;

в) , m=N

Для контроля больших партий изделий (N≥1000), а также восстанавливаемых изделий целесообразно пользоваться биномиальными планами. В этом случае

, (12.30)

где q₀ – вероятность отказа в каждом одиночном испытании для партии с хорошей надёжностью; q₁ – то же для партии с плохой надёжностью. Из (12.30) вытекают формулы для приёмочных (d_пр) и браковочных (d_бр).

Имея дефектных испытаний из числа “m” испытаний

, , (12.31)

где , ,

Приёмочные и браковочные числа для ряда значений “m” могут быть подсчитаны заранее и представлены виде таблиц плана. Для практических целей удобнее представлять план контроля в виде графика (Рис.1.2.8). Из (12.31) следует, что приёмочные (d_пр) и браковочные (d_бр) числа линейно зависят от объёма испытаний.

Рис. 12.11.

Если риски поставщика и заказчика равны: α=β, то h₁=h₂. Из (12.31) можно определить минимальное число испытаний m₀, при котором можно принять партию, когда число отказов d=0: m₀=-(h₁/S).

Если контролируется надёжность большой партии изделий (N≥1000) или восстанавливаемых изделий при условии q₁≤0,1, то исходя из распределения Пуассона, имеем:

. (12.32)

Тогда исходные величины для построения графика контроля определяются соотношениями:

; ; . (12.33)

Все остальные положения последовательного контроля остаются такими же как и к биномиальном плане.

Контроль по наработке.

Рассмотрим случай экспоненциального распределения времени безотказной работы. В этом случае последовательный контроль надёжности по наработке осуществляется в соответствии с правилами:

Если

(12.34)

где - суммарная наработка всех испытываемых изделий

; ;

(12.35)

- интенсивность отказов изделий надёжной партии, - то же ненадёжной партии. , ( - наработка до отказа i-го изделия) – суммарная наработка на каждом этапе при неусечённых последовательных испытаниях невосстанавливаемых изделий. При одновременном испытании N невосстанавливаемых изделий на каждом этапе испытаний, отмеченных временем . Если на испытании находится N восстанавливаемых изделий, замена которых осуществляется практически мгновенно, то на каждом этапе: . График последовательного контроля изображён на рис 12.10.

Рис 12.12

Характерными точками графика являются:

a) ;

б) ;

в)

В случае нормального распределения с известной дисперсией последовательный контроль надёжности по наработке осуществляется в соответствии с правилами:

(12.36)

где ; ; ; , - средняя наработка в партии с хорошей надёжностью, - то же в партии с плохой надёжностью.

График последовательного контроля изображён на рис 12.11.

Рис 12.13

Характерными точками графика являются:

a) ;

б) ;

в)

Типовые примеры решения задач последовательного контроля.

Пример № 1.

Последовательному контролю подлежит партия из N=100 невосстанавливаемых изделий. Партия считается хорошей при числе дефектных изделий q₀=0,05 и плохой при q₁=0,1. Риски поставщика и заказчика α=β=0,1. Определить приёмочные (m_пр) и браковочные (m_бр) числа испытаний при числе дефектных изделий d_m=0,1,2,3,4,2. Построить график контроля и принять решение в случае d_m=4 при числе испытаний m=22.

Решение: так как объём партии мал, используем f-биномиальный план.

1. Определяем число дефектных изделий в партии хорошей и плохой надёжности: D₀=q₀N=0,05*100=5; D₁=q₁N=0,1*100=10

2. Находим значения оценочных нормативов:

3. А=(1-β)/α=(1-0,1)/0,1=9; B=B/(1- α)=0,1/(1-0,1)=0,11.

4. Определяем С и r: ; r=D₁-D₀=10-5=5;

Определяем приёмочные числа d=0,1,2…

d=0: ; ;

d₁=1: ; ;

и т.д.

5. Определяем браковочные числа:

. Очевидно, эта формула имеет смысл при С_m<C/A=252/9=28.8, что в соответствии с таблицей биномиальных коэффициентов [22] имеет место при d_m≥3. Для d_m=3; ; и т.д.

После расчета всех приёмочных и браковочных чисел таблица плана может быть представлена в виде:

Таблица 12.3. Таблица приёмочных и браковочных чисел плана

6. Определяются характерные точки графика плана:

а) d_m=0; ;

б) d_m=D₀=5; ;

в) m=N=100.

Рис. 12.14

Заданная по условию рабочая точка попадает в область Б.

; m=25; d_m=4; ; C=252; .

Т.е. партия бракуется.

Пример № 2.

Надёжность изделий, выпускаемых большой серией считается высокой при интенсивности отказов и низкой при . Риски поставщика и заказчика одинаковы α=β=0,02. Рассчитывать последовательный план выходного контроля контроля до dm=m=10. Принять решение для 3х рабочих точек: d=0, =5000ч.; d=1; =5000ч.; d=2; =300ч.

Решение:

1. Вычисляем значения оценочных нормативов:

А=(1-β)/α=(1-0,05)/0,05=19; B=B/(1- α)=0,05/(1-0,05)=0,053.

2. Вычисляем константы:

3. Таблицу плана вычисляем по формулам:

dm
не менее
не более	-	-

4. График плана (Рис.12.13) можно построить с помощью полученной таблицы или по трём характерным точкам.

а) ;

б) ;

в) ;

Рис. 12.15

Из графика рис. 12.13 видно:

1. Рабочей точке , соответствует решение о приемке партии.

2. Рабочей точке , - решение о браковке.

3. Рабочей точке , - решение о продолжении испытаний.