Элементы теории симметрии

При расчетах электростатических полей важно уметь найти в данной электродной системе элементы симметрии. Наличие элементов симметрии существенно упрощает расчеты полей, особенно в случае численных методов расчета.

На рис. 1.7 показаны элементы симметрии, которые могут встретиться при расчетах конкретных электростатических полей. Центр инверсии (центр симметрии) показан на рис.1.7а; обозначается символом C_i и означает, что для каждой точки А_i (i=1,2,3) найдется точка В_i, у которой величина потенциала и напряженности поля такие же, как и в точке А_i, а

направление векторов изменится на противоположное. Понятно, что наличие этого элемента вдвое уменьшает количество расчетных точек при численных расчетах. На рис.1.7б, в, г показаны фигуры, обладающие различными осями симметрии. Ось симметрии обозначается символом С_360/a, где a- минимальный угол, на который следует повернуть фигуру (или поле) для того, чтобы совместить ее с собой. Так для правильного треугольника минимальный угол поворота будет 120°, а ось симметрии, проходящая через его центр, обозначается символом С_360/120=С₃. Минимальные углы для квадрата и правильного шестиугольника равны 90° и 60°, а оси симметрии обозначаются символами С₄ и С₆. Для такой фигуры как круг минимальный угол поворота в пределе стремится к нулю, а ось симметрии обозначается символом . На рис.1.7д изображен цилиндр, у которого ось симметрии проходит по его оси. При наличии такого элемента симметрии можно не вычислять параметры поля во всем трехмерном пространстве, а достаточно вычислить параметры поля на любой плоскости, проходящей через ось цилиндра. Параметры в остальной части пространства могут быть получены вращением выбранной плоскости на любой угол вокруг оси цилиндра. В этом смысле говорят, что задача нахождения параметров поля цилиндра (коаксиального кабеля) в пространстве сводится к задаче нахождения поля на плоскости, а само такое поле часто называется плоскопараллельным. На рис.1.7е изображена плоскость симметрии (плоскость зеркального отображения), которая обозначается символом m. Предельной симметрией, которая обозначается символом , обладает шар. Если поле обладает такой симметрией, то расчеты трехмерного поля сводятся к расчету параметров вдоль оси, проходящей через центр шара, т.е. к одномерному полю. Зависимости параметров поля от сферических координат q и j не будет.

Вопросы для самопроверки раздела 1

1. Перечислите основные характеристики электрических полей и их определения. Дайте определение потенциалу электрического поля.

2. Назовите отличия потенциальных и вихревых полей. Является ли электростатическое поле полем потенциальным?

3. Какова связь потенциала и напряженности электрического поля?

4. Как определить напряженность электрического поля вблизи поверхности, имеющей поверхностную плотность заряда s?

5. Перечислите правила графического изображения электрического поля. Как по картине расположения силовых линий определить области максимальной напряженности поля?

6. Назовите следствия теоремы о единственности и их применения при расчетах электрических полей.

7. Приведите формулы преобразования нормальной и тангенциальной составляющих векторов напряженности электрического поля и электрического смещения на границе раздела двух сред с различными величинами диэлектрической проницаемости.

8. Определите напряженность электростатического поля внутри сплошного металлического шарика радиуса R, находящегося в трансформаторном масле в однородном электрическом поле напряженностью Е.

9. Объясните принцип электростатического экранирования.

10. Перечислите элементы симметрии электродных систем. Для чего нужно определять симметрию рассматриваемых устройств?

11. Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения.

12. В чем состоит физический смысл циркуляции электрического поля вдоль некоторой линии L? Чему равен ротор электростатического поля?

13. В чем заключается физический смысл градиента потенциала электрического поля? Какова его связь с вектором напряженности?

14. В каких единицах измеряются в системе СИ потенциал, напряженность, поверхностная плотность и диэлектрическая проницаемость?