Коаксиальный кабель. Цилиндрический конденсатор

Коаксиальным кабелем называется система двух цилиндрических проводников различного радиуса, размещенных один внутри другого так, что их оси совпадают. Электрическое поле зарядов, расположенных на внутреннем проводнике, может быть заменено полем зарядов, расположенных на оси внутреннего проводника, как это делалось в случае заряженного проводящего шара. Поскольку обычно длина кабеля существенно больше его диаметра (диаметра наружного проводника), то для расчета параметров поля кабеля могут быть применены формулы (2.14), (2.15). Пусть потенциал наружного проводника равен нулю, тогда потенциал внутреннего проводника равен:

(2.16)

Емкость кабеля на единицу длины определяется как:

(2.17)

Напряженность поля в кабеле определяется выражением (2.14):

(2.18)

Цилиндрическим конденсатором называется система из двух электродов цилиндрической формы различного радиуса имеющих общую ось и вставленных один в другой. Любой отрезок коаксиального кабеля может рассматриваться как цилиндрический конденсатор. Если не учитывать влияния краев, то для расчета емкости и напряженности поля в цилиндрическом конденсаторе можно использовать формулы для коаксиального кабеля (2.16) – (2.18).

Как следует из формулы (2.18), наибольшая напряженность электрического поля в цилиндрическом конденсаторе будет при минимальном значении текущего радиуса r, которое равно r₁, т.е. напряженность максимальна на поверхности внутреннего электрода. Рассмотрим вопрос о нахождении оптимального размера внутреннего электрода, при котором напряженность на нем будет минимальна при заданных размерах внешнего электрода r₂ и потенциала U. Как следует из формулы (2.18), напряженность будет минимальна тогда, когда знаменатель в формуле будет максимален. Для нахождения экстремума этой функции нужно взять производную по r₁ и приравнять нулю:

,откуда . (2.19)

При заданном напряжении между обкладками цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля) наименьшая напряженность на внутренней обкладке (центральной жиле) будет при отношении радиусов равном основанию натуральных логарифмов е = 2,718281828459…

Коаксиальный кабель с двухслойным диэлектриком

Для выравнивания напряженности электрического поля вдоль радиуса применяются многослойные диэлектрики с различными величинами диэлектрической проницаемости. На рис.2.5 показан коаксиальный кабель (цилиндрический конденсатор) с двухслойным диэлектриком и изменение электрического смещения и напряженности электрического поля вдоль радиуса кабеля. Радиус внутренней жилы, первого слоя диэлектрика, а также внешней оболочки, который совпадает с радиусом второго слоя диэлектрика, обозначены соответственно r₁, r₂ и r₃. Диэлектрические проницаемости первого и второго слоя диэлектрика обозначены e₁ и e₂. Пусть к обкладкам приложено напряжение U, а граница раздела диэлектриков совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей. В соответствии с теоремой о единственности картина поля не изменится, если разместить на границе раздела диэлектриков тонкую металлическую обкладку. Двухслойный конденсатор в этом случае может быть рассмотрен как два однослойных цилиндрических конденсатора вложенных один в другой, т.е. соединенных последовательно. В этом случае их емкость можно рассчитать по формуле емкости двух последовательно соединенных конденсаторов С₁ и С₂:

С= С₁×С₂/(С₁ + С₂), а емкости С₁ и С₂ определяются выражением (2.17):

; (2.20)

Напряженность поля может быть определена следующим образом: из равенства линейной плотности зарядов t = С×U = С₁×U₁ = С₂×U₂; получаем U₁= С×U/C₁, U₂= С×U/C₂ и напряженности в первом и втором слое диэлектрика:

(2.21)

. (2.22)

На границе раздела диэлектриков напряженность (радиальная составляющая) испытывает скачок, как это и следовало ожидать в соответствии с выражениями (1.40)-(1.42). В то же время величина вектора электрического смещения D₁=e₁E₁= D₂=e₂E₂ непрерывна. На рис. 2.5 приведены зависимости напряженности и электрического смещения в зависимости от радиуса для случая, когда e₁ > e₂. При таком выборе диэлектриков удается добиться выравнивания напряженности вдоль радиуса и существенно снизить напряженность вблизи центральной жилы.