Поле однородно заряженного диэлектрического шара

Пусть дан однородно заряженный диэлектрический шар с зарядом Q радиуса r₀ равного для определенности радиусу r₄ (рис.2.1.). Определим потенциал и напряженность электрического поля вне этого шара и внутри его. Для нахождения поля вне заряженного шара воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Построим мысленно сферическую поверхность S радиусом, например, r> r₀ концентрическую с шаром. Определим поток вектора электрического смещения D через эту поверхность. По теореме Гаусса он равен заряду Q. Для любой точки поверхности S величина вектора D одинакова в силу сферической симметрии задачи. Направление D совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из центра шара, и с направлением нормали к поверхности S, как показано на рис.2.1. Тогда

(2.9)

Потенциал электрического поля вне сферы находится следующим образом:

(2.10)

Для нахождения потенциала и напряженности поля внутри заряженного шара поступим аналогичным образом. Пусть требуется найти параметры поля на расстоянии r < r₀ от центра шара. Проведем концентрическую сферу радиуса r и определим заряд внутри проведенной нами сферы. Объем всего

шара . Плотность заряда . Заряд внутри сферы равен

.

Напряженность поля и потенциал внутри сферы будут равны:

(2.11)

А потенциал (2.12)

Физический смысл const2 можно понять из (2.12): приравняв радиус нулю, получим j=const2, т.е. потенциал в центре шара. Пусть он равен нулю. Поскольку потенциал поля сферы является непрерывной функцией, т.е. потенциалы в формулах (2.10) и (2.12) должны быть равны на границе сферы c r=r₀, можно записать:

. (2.13)

Если мы приняли значение потенциала в центре шара равным нулю, то физический смысл const1 в том, что она представляет собой потенциал на поверхности диэлектрического шара. На рис.2.2. изображено изменение напряженности и потенциала диэлектрического шара внутри и снаружи. В центре шара потенциал равен нулю, по мере удаления от центра к поверхности шара потенциал возрастает (по модулю) пропорционально квадрату радиуса, достигая максимума на поверхности, а затем убывает обратно пропорционально расстоянию до центра шара. На поверхности шара потенциал непрерывен. Направление вектора напряженности поля совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из центра шара в произвольную точку пространства, а его величина линейно возрастает внутри шара при r < r₀. На границе шара напряженность испытывает скачок в e раз, связанный с переходом из среды с относительной диэлектрической постоянной e > 1 в среду с e = 1. При дальнейшем увеличении расстояния напряженность уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, а не первой степени, как в случае потенциала. При сравнении зависимости потенциала и напряженности поля, создаваемого заряженным диэлектрическим шаром вне шара и точечным зарядом, можно заметить, что формулы совпадают.

Поле длинной равномерно заряженной оси

В качестве длинной заряженной оси принимается тонкий длинный заряженный проводник (провод), когда краевыми эффектами на концах провода (нити) можно пренебречь, а расстояния от нити до области рассматриваемого поля значительно больше радиуса проводника и намного меньше длины нити. Пусть нить

равномерно заряжена по длине с линейной плотностью заряда t. Поле имеет цилиндрическую симметрию с осью симметрии С_¥. Вид эквипотенциальных поверхностей был получен нами при решении уравнений Лапласа в §2.1, описывается выражениями (2.2) и показан на рис.2.3. Вектор напряженности электростатического поля всюду направлен по радиусу от нити, а его величина обратно пропорциональна радиусу. Для определения коэффициента пропорциональности воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса. Определим поток вектора электрического смещения из цилиндра радиуса r, ось которого совпадает с заряженной осью, а длина равна L >> r. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность S_бок и потока через два основания цилиндра S_осн. Поток через боковую поверхность Ф_бок=D_r× S_бок = D_r× 2prL. Вектор Dперпендикулярен заряженной оси, а вектор площади оснований направлен вдоль оси, поэтому их скалярное произведение равно нулю, т.е. поток через основания цилиндра равен нулю. Тогда D_r× 2prL = t×L,

(2.14)

Сравнивая выражения (2.2) и (2.14), определяем постоянную С₃ в (2.2):

Пусть потенциал равен нулю на какой-либо цилиндрической поверхности радиуса r = r₀. Тогда

(2.15)

При изображении поля длинной заряженной нити радиусы эквипотенциальных поверхностей (боковых поверхностей цилиндров) должны удовлетворять следующему условию:j_n+1 - j_n = const= r_n+1/r_n, т.е. радиусы эквипотенциалей образуют геометрическую прогрессию.