Вывод уравнения плоскости по точке и двум направляющим.

Пусть даны точка и 2 направляющих вектора ими однозначно порождается некоторый параллелограмм, а следовательно и плоскость. Обозначим координаты направляющих, например, так: и .

Возьмём произвольную точку . Если она принадлежит плоскости, то вектор (показан красным цветом) будет лежать в плоскости, то есть тройка векторов , образует линейно-зависимую систему (ЛЗС).

Тогда определитель равен 0:

Вычисляя этот определитель, мы получим в качестве результата некоторое уравнение, содержащее x,y,z.

Вывод уравнения прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Пусть дана точка с координатами и направляющий вектор :

Пусть произвольная точка с координатами лежит на этой же прямой. Тогда и линейно зависимы, то есть ранг следующей матрицы равен 1:

другими словами, их координаты - пропорциональны, т.е. тогда получим:

.

Это канонические уравнения прямой в пространстве.

Теорема о замене.

Пусть в пространстве над полем заданы 2 системы векторов:

(1) и (2) . Если каждый вектор системы (1) линейно выражается через систему (2), то будет говорить, что система (1) выражается через (2), обозначается .

Если и , то системы (1) и (2) называются эквивалентными, .

Свойства эквивалентности:

1) .

2) если то .

3) если и , то .

Лемма. Если и вектор , то .

Доказательство.

Если , то . Но при этом , а значит, , то есть каждый вектор системы (1) можно представить в виде линейной комбинации векторов (2).

Тогда а в таком случае, можно перегруппировать слагаемые и получить

, то есть .

Теорема о замене (Штейница).Пусть в пространстве над полем заданы 2 системы векторов: (1) и (2). Пусть система (1) линейно независима и линейно выражается через (2). Тогда: 1) ;

2) Из системы (2) можно удалить векторов, так, что оставшиеся векторы, вместе с векторами системы (1) составляют новую систему, эквивалентную (2).

Доказательство.1) База индукции. Пусть . Система (1) имеет вид . Тогда во-первых очевидно, что , так как (2) содержит хотя бы один вектор.

линейно выражается через , то есть существуют коэффициенты, не все равные 0, так что . Пусть в этом равенстве - наименьший индекс, для которого , т.е. . Тогда можно вектор выразить через систему векторов (3):

. Итак, .

Докажем, что .

Сначала докажем, что .

выражаются через (3), так как они принадлежат этой системе (достаточно взять один коэффициент 1, другие 0). А то, что установлено выше.

(2)

(3)

Теперь докажем, что .

выражаются через (2), так как принадлежат ей.

тоже выражается через (2) - это по исходному предположению индукции. Итак, .

2) Индукционный шаг. Пусть при утверждение верно. Тогда существует система

(4),

эквивалентная (2). При этом в ней уже заменено векторов, причём с точностью до перенумерации векторов в системе (2).

Вектор линейно выражается через (2), а значит, и через (4), так как

.

.

Здесь хотя бы один из коэффициентов отличен от 0, иначе бы

выражался через , что противоречило бы линейной независимости системы (1).

Значит, какой-то один из векторов имеет ненулевой коэффициент (пусть для определённости это будет , иначе произведём перенумерацию) а значит, его можно выразить через систему (5)

(его перенести влево, а вправо и поделить на коэффициент, точно так же, как делали в базе индукции).

Итак, есть две системы:

(4)

(5)

где Вектор линейно выражается через (4), а через (5). Все прочие векторы этих систем, очевидно, выражаются через другую систему, так как принадлежат ей (один коэфф. 1, прочие 0). Итак, , но при этом было , значит, .

Итак, возможность замены доказана.

Осталось показать, что . Пусть, напротив, . Тогда на каком-то этапе замены, в системе (2) уже все векторы заменены на векторы из системы (1) (причём проведено замен). Тогда при замене -го вектора мы столкнулись бы с тем, что линейно выражается через систему , то есть через подсистему системы (1). Но если какой-то вектор системы (1) линейно выражается через другие векторы этой же системы, это противоречит линейной независимости системы (1), которая по условию теоремы выполняется.

Следствие.Две эквивалентные системы состоят из одного и того же количества векторов.

Если и , как в теореме выше, то и одновременно, а значит, .

Терминология для бесконечных систем элементов.Пусть дана (1) бесконечная система элементов линейного пространства . Система (1) называется линейно зависимой, если в ней найдётся конечная линейно зависимая подсистема. Система называется линейно независимой, если всякая её конечная подсистема линейно независима.

Пример.Множество ЛНС. Любая конечная подсистема ЛНС.