Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта

Пусть дана не ортогональная система векторов . Первый вектор возьмём из старой системы без изменения . Теперь мы должны найти второй вектор , так чтобы он был ортогонален . К вектору нужно прибавить , домноженный на какой-то коэффициент, чтобы подвинуть конец вектора таким образом, чтобы новый изменённый вектор стал ортогонален . Чертёж:

, причём . Тогда

то есть , тогда .

Таким образом, .

Далее, рассмотрим вектор , он также изначально может быть не ортогонален векторам и , необходимо прибавить к нему линейную комбинацию, состоящую из них. Ищем в виде , причём так, чтобы было выполнено и .

, причём так как эта часть системы уже была построена как ортогональная (на прошлом шаге).

Тогда .

Аналогично означает, что .

Итак, . Теперь все 3 вектора ортогональны между собой. Аналогично этот процесс можно продолжить и для n векторов.

Пример.Ортогонализовать систему векторов (1,1), (0,2).

, .

. = .

= =

Лекция 14. 26.12.2020.

Ортогональные матрицы.Пусть новый базис также ортонормированный, тогда матрица перехода обладает следующими свойствами:

1) сумма квадратов всех элементов любого столбца равна 1.

2) скалярное произведение двух различных векторов-столбцов = 0.

.

Такая матрица называется ортогональной матрицей.

Лемма.Еслиортогональная матрица, то .

(Объём параллелепипеда, построенного на ортонормированной системе, равен 1).

Теорема.Еслиортогональная матрица, то .

Доказательство.Умножим

=

Строка в первой матрице, это бывший столбец (до транспонирования). Таким образом, умножая -ю строку на -й столбец, мы получаем . А если -ю строку умножаем на -й столбец, то это то же самое, что скалярно умножить друг на друга -й столбец на -й столбец в исходной матрице, а это .

Тогда , а значит, транспонированная матрица это и есть обратная, что и требовалось доказать.

Примером такой матрицы является матрица оператора поворота: , здесь можно устно проверить, что сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1 (по основному тригонометрическому тождеству), а скалярное произведение 1-го и 2-го столбцов 0. Чтобы найти обратную к ней матрицу, достаточно лишь транспонировать её.

Ещё примеры ортогональных матриц.

, .