Устойчивость трехслойных стержней




Один из рассмотренных способов повышения критических напряжений панелей (пластин) - подкрепление их тонкостенными стержнями.

Другой - увеличение изгибной жесткости путем разделения несущих слоев прослойкой легкого наполнителя. Простейшая расчетная модель такой трехслойной панели, справедливая для случая ее цилиндрического выпучивания, это трехслойный стержень (Рис.17.2). Здесь мы обязаны учесть анизотропию свойств материала. Приближенно это можно сделать, приняв следующую расчетную модель.

Нормальные напряжения в заполнителе малы в сравнении с напряжениями в жестких высокопрочных несущих слоях.

Перерезывающая сила создается только касательными напряжениями в заполнителе, имеющем очень низкий модуль сдвига . Это обстоятельство заставляет нас пересмотреть традиционную для стержней гипотезу плоских сечений.

Сечения по-прежнему можно считать плоскими,

но, вследствие малого модуля

.

Такую модель впервые рассмотрел Тимошенко. Модель и называется стержнем Тимошенко. Для изотропного материала вносимые ею уточнения по сравнению с традиционной моделью настолько малы, что находятся за пределами точности, обеспечиваемыми основными гипотезами теории упругости.

Для анизотропного же материала с низким эта поправка существенна.

Для стержня Тимошенко уравнение равновесия искривленного элемента с учетом проекции продольной силы на нормаль имеет тот же вид, что и ранее

(17.4)

Однако, поскольку теперь физические соотношения есть не только для изгибающего момента, но и для перерезывающей силы

уравнения (17.4) принимают вид:

или в простейшем случае, когда усилие и жесткости постоянны:

(17.5)

Граничные условия (по два на каждом из концов стержня) имеют вид:

или

или . (17.6)

Эти условия получаются в качестве “естественных” из вариационного критерия Брайана [1]. Подчиняя общее решение системы (17.5)

(17.7)

где условиям (17.6), получим однородную систему относительно констант . Приравняв нулю ее определитель, получим характеристическое уравнение для нахождения .

Для шарнирно опертого стержня решение можно получить из (17.7) или, заранее выполнив граничные условия, в виде

(17.8)

Подставив (17.8) в (17.5), найдем

.

Обозначив - критическую силу с учетом сдвига, отнесенную к , запишем

(17.9)

Для трехслойного стержня изгибной жесткостью заполнителя можно пренебречь,

.

 

Трехслойные панели.

 

Рассмотрим трехслойную пластину, выполненную из двух изотропных пластин, разнесенных по толщине прослойкой из легкого заполнителя (Рис. 17.10). Аналогично трехслойному стержню примем для неё деформационную модель Тимошенко. Пластина и называется панелью Тимошенко.

 

Рис. 17.5

В несущих слоях – плоское напряженное состояние, обеспечивающее восприятие изгибающих и крутящих моментов.

Заполнитель легкий настолько, что нормальными напряжениями в нем , , и можно пренебречь по сравнению с несущими слоями. В нем отличны от нуля только напряжения , , , обеспечивающие восприятие перерезывающих сил, внешнего давления и совместную работу слоев, т.е. они постоянны по толщине заполнителя: (x, y), (x, y). Соотношения упругости для вертикальных касательных напряжений имеют вид

, . (17.10)

В классической теории изгиба пластин по Кирхгоффу предполагалось, что пластина несжимаема, т.е. . Однако жесткость легкого заполнителя мала, и сжимаемость оказывает значительное влияние на поведение трехслойной панели. От версии о несжимаемости панели приходится отказаться, определяя касательные напряжения из соотношений (17.10).

Интегрируя эти соотношения по координате z, получаем

, . (17.11)

Здесь , - перемещения срединной плоскости. Если несущие слои одинаковы, то в силу симметрии эти перемещения отсутствуют, а гипотеза прямой нормали сохраняется

, , (17.12)

где величины

, (17.13)

есть углы поворота нормали к срединной поверхности относительно соответствующих осей. При бесконечной жесткости эти соотношения переходят в стандартную гипотезу Кирхгоффа.

Напряжения (x, y), (x, y) образуют перерезывающие силы

, . (17.14)

Из равенств (17.13), (17.14) находим

, (17.15)

где

(17.16)

это жесткость заполнителя и, следовательно, всей трехслойной пластины на сдвиг.

Если мы рассматриваем тонкие несущие слои пластины толщиной с жесткостями на растяжение-сжатие

,

то имеем в пластине изгибающие и крутящие моменты

, , , (17.17)

где изгибная жесткость трехслойной панели

.

А это, как правило, гораздо больше аналогичной жесткости двух совмещенных слоев

,

что и определяет конструктивную целесообразность разнесения слоев. Правда, следует иметь в виду, что жесткость несколько ослабляется низкой изгибной жесткостью легкого заполнителя.

Подставляя в стандартные уравнения равновесия однослойных пластин

, , (17.18)

выражения для моментов и перерезывающих сил, мы окончательно получим систему трех уравнений равновесия

,

, (17.19)

.

 

Здесь обозначено:

, , ,

, , , (17.20)

, , ,

где , .

Теперь приведем систему трех уравнений (17.19) к одному уравнению относительно некоторой неизвестной функции , подобно тому, как мы поступали, вводя функцию напряжений в плоской задаче теории упругости.

Составим формально определители и выразим искомые функции через неизвестную функцию с помощью миноров, являющихся алгебраическими дополнениями элементов третьей строки. Получим

,

, (17.21)

Подстановкой (17.21) в систему (17.19) нетрудно убедиться в том, что первые два уравнения выполняются тождественно, а третье после преобразований принимает вид

. (17.22)

Это и есть уравнение изгиба трехслойной панели. Оно имеет шестой порядок. Для его решения на каждой из четырех кромок панели необходимо задать по три граничных условия.

Для свободного края

,

для жестко защемленного края

,

для шарнирно опертого края

и ( или ).

При абсолютно жестком на сдвиг заполнителе имеем и, следовательно, . При этом из последнего равенства (17.21) имеем , а из уравнения (17.22) – знакомое нам уравнение Софи Жермен для изотропной пластины.

Для свободно опертой панели, проходит решение в двойных тригонометрических рядах, подобное решению Навье, и мы получаем

, (17.23)

 

где

, .

Уравнение устойчивости трехслойной пластины, сжатой по продольной оси , можно записать, заменив в уравнении (17.22) поперечную нагрузку на так называемую фиктивную, условную нагрузку от проекций сжимающих сил на продольную ось

.

В итоге с учетом (17.21) будем иметь

(17.24)

Это и есть уравнение устойчивости принятой нами трехслойной панели, сжатой в одном направлении. Если прослойка отсутствует, то , , и это уравнение совпадает с (14.1).

Для свободно опертой трехслойной пластины, применяя формулу (17.24), получаем

. (17.25)

Параметр

имеет размерность . Если ввести безразмерный параметр

и записать равенство (17.25) в форме, аналогичной стандартной

,

то получим

,

Перебирая значения m, n=1,2,3,…, можно найти минимум.

Мы рассмотрели только свободно опертую, то есть шарнирно опертую панель. Для иных панелей нужно применять вариационные методы.

Метод Ритца при этом довольно сложен, поскольку надо описывать энергию заполнителя при различных принимаемых гипотезах. Но можно применить метод Бубнова-Галеркина, выбрав аппроксимирующие функции, отвечающие всем граничным условиям задачи, если это возможно. Тогда останется только выполнить уравнение (17.22), ортогонализируя его к выбранному набору функций.

 






Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1220; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.054 сек.