Функции и их свойства
Переменной называют величину x Î X, принимающую значения из некоторого множества значений Х.
Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено
в соответствие по определенному правилу f единственное значение пере-менной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y. При этом используют следующие названия:
х – аргумент (независимая переменная);
у – значение функции (зависимая переменная);
Х – область определения функции (ООФ);
Y – множество значений функции (ОЗФ).
Функция , область определения Х которой симметрична
относительно начала координат, называется четной, если ,
и называется нечетной, если , " .
Примеры. y = cos x – четная функция, y = x3 – нечетная функция, – функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
Функция называется периодической, если существует положительное число Т, такое, что , "x Î X.
Примеры. y = tg x – периодическая функция, наименьший период T = π, y = ln x – непериодическая функция.
Значение функции – переменная величина, поэтому можно рассматривать новую функцию с аргументом у: z = g (y), где ,
т. е. функцию z = g (f (x)). Такая функция называется сложной функцией
от х, или суперпозицией функций f и g.
Пример. z = tg (х2 + 3x – 1)– суперпозиция функций z = tg у
и у = х2 + 3x – 1.
Если ставится в соответствие единственное значение , такое, что , то говорят, что задана функция , которую называют обратной по отношению к функции . Функции f и называются взаимно обратными функциями. Если у обратной функции обозначить аргумент буквой х, а функцию – буквой у,
то графики взаимно обратных функций и будут симметричны относительно прямой у = х.
Пример. y = lg x и y = 10x – взаимно обратные функции.
Все функции, задаваемые аналитическим способом, можно разбить
на два класса: элементарные и неэлементарные. В классе элементарных функций выделяют основные элементарные функции: степенная (у = xn), показательные (y = ax), тригонометрические (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), а также обратные к ним (логарифмические, обратные тригонометрические и др.). Элементарными называют функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, а также суперпозиции основных элемен-тарных функций. Все остальные функции относятся к неэлементарным.
Примеры. y = lg (cos x) – элементарная функция, так как является суперпозицией основных элементарных функций y = lg x и y = cos x; – неэлементарная функция.
Нулями функции называют точки х, в которых выполнено равенство . Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Oх.
Пример. У функции y = lg (x) единственный нуль – точка х = 1.
Функция называется монотонно возрастающей на интервале х Î (а; b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется монотонно убывающей на интервале х Î (а; b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство .
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.
Если функция монотонна на интервале х Î(а; b), то она имеет обратную функцию .
Пример. Функция y = tg x монотонна на интервале , ее ОЗФ: . Она имеет обратную функцию y = arctg x, определенную на интервале , с ОЗФ: .
Точка х0 называется точкой максимума функции , если суще-ствует такая двухсторонняя окрестность точки х0, что для всякой точки х ¹ х0 этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумом функции и обозначается ymax.
Аналогично, если для всякой точки х ¹ х0 из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называется точкой минимума, а число – минимумом функции и обозначается ymin.
Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а числа ymax и ymin называются экстремумами функции.
Пример. Функция y = cos x имеет точки максимумов x = 2pk, k = 0, ±1, ±2, …, , и точки минимумов x = p + 2pk, k = 0, ±1, ±2, …, .
Дата добавления: 2019-05-21; просмотров: 402;