Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ означает равенство их действительных и мнимых частей: .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алге-браической форме определяются следующим образом. Если z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂, то

1) z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂);

2) z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂);

3) z₁ z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂ + х₂y₁);

4) .

Пример. Даны числа z₁ = 4 – i и z₂ = 1 + 3i. Вычислить .

Найдем , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

(при вычислениях учтено, что ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если , то

1)

2) , если r₂ ¹ 0;

если то

3) (15)

4) .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного
результата, заключенные в промежутке .

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 3

Задача 1. Даны функции

Требуется:

1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f (x) и g (x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;

2) составить сложные функции y = f ( g ( x )) и y = g ( f ( x ));

3) для функции y = f ( x ) найти обратную функцию y = f ^–1( x ),
построить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе
координат и записать их ООФ и ОЗФ.

Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения предела.

а) ; б)

в) ; г) .

Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с зада-ниями.

а) Проверить, является ли функция непрерывной в точках х₁ = 0 и х₂ = 3. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический чертеж в окрестности точки разрыва.

б) Построить график функции используя график, записать промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип каждого из них.

Задача 4. Даны уравнение , комплексное число и натуральное число n = 6. Требуется:

1) найти корни уравнения z_1, z₂ на множестве комплексных чисел;

2) найти комплексное число в алгебраической форме;

3) получить тригонометрическую форму числа z₀ и вычислить с ее помощью . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Решение задачи 1

1) Строим графики заданных функций,
используя известные графики основных элементарных функций и простейшие преобразования графиков.

Для построения графика в качестве исходного используем график функции y = log₃ x, для которой ООФ: х > 0, у(1) = 0, у(3) = 1, y(1/3) = –1 (рис. 13).

График функции получаем из исходного графика в соответствии
с преобразованием графиков

(перенос графика на а единиц в направлении
оси Ох). В данном случае график перемещаем
на 0,5 единиц вправо (рис. 14).

Для функции ООФ: х > 0,5, у(1,5) = 0, у(3,5) = 1.

График получаем из графика
в соответствии с преобразованием графиков
(перенос графика на А единиц в направлении оси Oу). В данном случае график перемещаем на 2 единицы вверх (рис. 15).

Для построения графика в качестве исходного используем график функции (рис. 16).

График функции получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков (сжатие графика в а раз в направлении оси Ох). В данном случае график сжимаем в 2 раза (рис. 17).

График функции получаем из графика функции в соответствии с преобразованием графиков , (растяжение графика
в А раз в направлении оси Оу). В данном случае график растягиваем в 3 раза (рис. 18).

Опишем при помощи пост-роенных графиков основные характеристики функций
и в виде таблицы.

Таблица 2

№	Характеристика
	ООФ (область определения функции)
	ОЗФ (область значений функции)

Окончание табл. 2

№	Характеристика
	Нули функции
	Четность	Общего вида	Нечетная
	Периодичность	Непериодическая	Периодическая с
	Промежутки монотонности	при	при при
	Точки экстремумов, экстремумы функции	Экстремумов нет	– точки min, – точки max,

2) Составим сложную функцию для , , подставив в f (x) вместо аргумента х функцию g(x): .

Аналогично составляем сложную функцию : , т. е. .

3) Находим обратную функцию для функции .
Так как функция является монотонно возрастающей на всей своей ООФ
(рис. 15), то для нее существует обратная функция . Чтобы записать ее аналитическое выражение, решим уравнение относительно х, т. е. получим выражение :

.

Переобозначив аргумент обратной функции через х, а функцию через у, получим: – функцию .

Для функции ООФ: , ОЗФ: (табл. 2); для функции ООФ: , ОЗФ: (для взаимно обратных функций промежутки ООФ и ОЗФ меняются ролями).

Построим графики обеих взаимно обратных функций и , контролируя их симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 19).

Ответы:

1) рис. 15, 18, табл. 2; Рис. 19

2) и ;

3) для ООФ: ОЗФ: для ООФ: ОЗФ: графики на рис. 19.

Решение задачи 2а

Решение задачи 4

1) Найдем корни уравнения на множестве комплексных чисел:

(здесь использовано: ).

2) Чтобы найти комплексное число , вычислим сначала :

( – это число, сопряженное числу , т. е. ).

Затем находим числитель и знаменатель .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

– получили число w в алгебраической форме.

3) Комплексное число задано в алгебраической форме z₀ = x + yi, где x = 1, y = . Получим тригонометрическую форму этого числа z₀ = r (cos j + sin j), используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа и его аргумент:

Таким образом, – тригонометрическая форма числа z₀.

Для вычисления используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

Здесь аргумент . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку , используя формулу (11): при n = –1 получаем arg ( zⁿ ) = 0. Тригонометрическая форма комплексного числа для имеет вид:

.

Подставив значения cos 0 = 1, sin 0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа:

Ответы: 1) 2) ; 3) ;

Справочный материал по теме "Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной"