Інтервальні оцінки: основні ідеї
Для демонстрації підходу розглянемо гіпотетичний приклад «сімейний дохід - витрати на споживацькі товари», наведений раніше. Рівняння (2.6.2) показує, що гранична схильність до споживання (MPC, marginal propensity toconsume) дорівнює 0,5091, має точкове значення невідомого МРС
. Наскільки ця оцінка достовірна? Як зазначено в розд. 2, унаслідок вибіркових флуктуацій точкове значення швидше за все відрізняється від істинного
, хоча при повторних вибірках її математичне сподівання дорівнює
, оскільки
. У статистиці достовірність точкового значення вимірюється її стандартною помилкою. Отже, замість того, щоб покладатися лише на точкове значення, ми можемо побудувати інтервал навкруги точки оцінювання, скажімо у дві або три стандартні помилки вліво і вправо від точки, так що цей інтервал містить, скажімо, з імовірністю 95% істинне значення параметра. У цьому полягає ідея інтервальної оцінки.
Припустимо, що ми хочемо знайти наскільки “близько” розташована до
. Для цього спробуємо знайти такі два позитивних числа
і
, останнє знаходиться між 0 і 1, що випадковий інтервал
містить істинне значення
з імовірністю
. У математичних позначеннях це записується як
![]() | (3.1.1) |
Такий інтервал, якщо він, звичайно, існує, має назву довірчого інтервалу; називається довірчим коефіцієнтом, а
відомий як рівень (ступінь) значимості (level significance). Кінці довірчого інтервалу називаються межами довіри (confident limits): (
) – нижня межа довіри і (
) – верхня межа довіри. На практиці
і (
) часто виражаються у відсотках.
Рівняння (3.1.1) показує, що на противагу точковій оцінці інтервальна оцінка є інтервалом, побудованим таким чином, що він містить з певною імовірністю ( ) істинне значення параметра. Наприклад, якщо
або 5%, (3.1.1) свідчить таке: імовірність того, що випадковий інтервал у (3.1.1) містить істинне значення
, дорівнює 0,95 або 95%. Інтервальна оцінка дає, таким чином, інтервал, у якому може лежати істинне значення
.
Важливо знати такі аспекти інтервальної оцінки:
1. Рівняння (3.1.1) не свідчить про те, що імовірність того, що лежить між фіксованими межами, дорівнює
, оскільки
, хоч воно і невідоме, не фіксоване число, не можна сказати, лежить воно усередині інтервалу чи ні. Формула (3.1.1) стверджує, що застосовуючи описаний вище метод, імовірність побудови інтервалу, який містить
, дорівнює
.
2. Інтервал (3.1.1) - випадковий, тобто він змінюватиметься (варіюватиметься) від однієї вибірки до іншої, оскільки в його основі лежить , що є випадковим.
3. Оскільки довірчий інтервал є випадковим, твердження імовірності, що стосується нього, слід розуміти в значенні тривалого повторення вибірок. Більш точно (3.1.1) стверджує: якщо в повторних вибірках довірчі інтервали, подібні побудованому, отримані в результаті великої кількості вибірок на базі ймовірності , то в середньому такі інтервали будуть містити в
випадках істинне значення параметра
.
4. Як зазначено в пункті 2, інтервал (3.1.1.) випадковий, поки невідомий. Але якщо ми взяли конкретну вибірку і отримали конкретне числове значення
, то інтервал (3.1.1) більше не випадковий, а фіксований. У цьому випадку ми не можемо стверджувати (3.1.1) про імовірність, тобто ми не можемо сказати, що з імовірністю
фіксований інтервал містить істинне значення
. При цьому
або лежить усередині інтервалу, або поза ним. Отже, імовірність цієї події дорівнює 1 або 0. Так, для нашого гіпотетичного прикладу “споживання-дохід” якщо 95%-й довірчий інтервал був отриманий як (
), ми не можемо сказати, що з імовірністю 95% цей інтервал містить істинне
. Імовірність становить 1 або 0.
Як будується довірчий інтервал? З огляду на вищезазначене можна сподіватися, що якщо розподіл імовірності оцінювачів відомий, то можна побудувати довірчий інтервал (3.1.1). Ми знаємо, що при припущенні про нормальність закону розподілу отримані за МНК оцінки
і
також нормально розподілені, а оцінка за МНК
пов’язана з розподілом
. Покажемо, що процедура побудови довірчого інтервалу - нескладна задача.
3.2 Довірчі інтервали для регресійних коефіцієнтів і
Як було відзначено раніше, при припущенні про нормальний закон розподілу залишків отримані за МНК оцінки
і
самі розподілені за нормальним законом з відомими математичними сподіваннями і дисперсіями:
![]() ![]() ![]() ![]() |
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1847;