Інтервальні оцінки: основні ідеї

Для демонстрації підходу розглянемо гіпотетичний приклад «сімейний дохід - витрати на споживацькі товари», наведений раніше. Рівняння (2.6.2) показує, що гранична схильність до споживання (MPC, marginal propensity toconsume) дорівнює 0,5091, має точкове значення невідомого МРС . Наскільки ця оцінка достовірна? Як зазначено в розд. 2, унаслідок вибіркових флуктуацій точкове значення швидше за все відрізняється від істинного , хоча при повторних вибірках її математичне сподівання дорівнює , оскільки . У статистиці достовірність точкового значення вимірюється її стандартною помилкою. Отже, замість того, щоб покладатися лише на точкове значення, ми можемо побудувати інтервал навкруги точки оцінювання, скажімо у дві або три стандартні помилки вліво і вправо від точки, так що цей інтервал містить, скажімо, з імовірністю 95% істинне значення параметра. У цьому полягає ідея інтервальної оцінки.

Припустимо, що ми хочемо знайти наскільки “близько” розташована до . Для цього спробуємо знайти такі два позитивних числа і , останнє знаходиться між 0 і 1, що випадковий інтервал містить істинне значення з імовірністю . У математичних позначеннях це записується як

.

(3.1.1)

Такий інтервал, якщо він, звичайно, існує, має назву довірчого інтервалу; називається довірчим коефіцієнтом, а відомий як рівень (ступінь) значимості (level significance). Кінці довірчого інтервалу називаються межами довіри (confident limits): ( ) – нижня межа довіри і ( ) – верхня межа довіри. На практиці і ( ) часто виражаються у відсотках.

Рівняння (3.1.1) показує, що на противагу точковій оцінці інтервальна оцінка є інтервалом, побудованим таким чином, що він містить з певною імовірністю ( ) істинне значення параметра. Наприклад, якщо або 5%, (3.1.1) свідчить таке: імовірність того, що випадковий інтервал у (3.1.1) містить істинне значення , дорівнює 0,95 або 95%. Інтервальна оцінка дає, таким чином, інтервал, у якому може лежати істинне значення .

Важливо знати такі аспекти інтервальної оцінки:

1. Рівняння (3.1.1) не свідчить про те, що імовірність того, що лежить між фіксованими межами, дорівнює , оскільки , хоч воно і невідоме, не фіксоване число, не можна сказати, лежить воно усередині інтервалу чи ні. Формула (3.1.1) стверджує, що застосовуючи описаний вище метод, імовірність побудови інтервалу, який містить , дорівнює .

2. Інтервал (3.1.1) - випадковий, тобто він змінюватиметься (варіюватиметься) від однієї вибірки до іншої, оскільки в його основі лежить , що є випадковим.

3. Оскільки довірчий інтервал є випадковим, твердження імовірності, що стосується нього, слід розуміти в значенні тривалого повторення вибірок. Більш точно (3.1.1) стверджує: якщо в повторних вибірках довірчі інтервали, подібні побудованому, отримані в результаті великої кількості вибірок на базі ймовірності , то в середньому такі інтервали будуть містити в випадках істинне значення параметра .

4. Як зазначено в пункті 2, інтервал (3.1.1.) випадковий, поки невідомий. Але якщо ми взяли конкретну вибірку і отримали конкретне числове значення , то інтервал (3.1.1) більше не випадковий, а фіксований. У цьому випадку ми не можемо стверджувати (3.1.1) про імовірність, тобто ми не можемо сказати, що з імовірністю фіксований інтервал містить істинне значення . При цьому або лежить усередині інтервалу, або поза ним. Отже, імовірність цієї події дорівнює 1 або 0. Так, для нашого гіпотетичного прикладу “споживання-дохід” якщо 95%-й довірчий інтервал був отриманий як ( ), ми не можемо сказати, що з імовірністю 95% цей інтервал містить істинне . Імовірність становить 1 або 0.

Як будується довірчий інтервал? З огляду на вищезазначене можна сподіватися, що якщо розподіл імовірності оцінювачів відомий, то можна побудувати довірчий інтервал (3.1.1). Ми знаємо, що при припущенні про нормальність закону розподілу отримані за МНК оцінки і також нормально розподілені, а оцінка за МНК пов’язана з розподілом . Покажемо, що процедура побудови довірчого інтервалу - нескладна задача.

3.2 Довірчі інтервали для регресійних коефіцієнтів і

Як було відзначено раніше, при припущенні про нормальний закон розподілу залишків отримані за МНК оцінки і самі розподілені за нормальним законом з відомими математичними сподіваннями і дисперсіями:

, , , .