Классическая вероятность и ее свойства
Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.
Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.
Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р – первая буква французского слова probabilite – вероятность).
В соответствии с определением
,
где – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;
- общее число возможных элементарных исходов испытания.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.
Часто число называют относительной частотой появления события А в опыте.
Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.
Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно.
Иногда вероятность выражают в процентах: Р(А) • 100% есть средний процент числа появлений события A.
Пример 2.13. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение.
Обозначим через А событие — «набрана нужная цифра».
Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна).
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
Формула классической вероятности дает очень простой, не требующий проведения экспериментов, способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы очень обманчива. Дело в том, что при ее использовании возникают, как правило, два очень непростых вопроса:
1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможны, и можно ли это сделать вообще?
2. Как найти числа m и n?
Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные исходы увидеть не всегда просто.
Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!
Пример 2.14. (ошибка Даламбера). Подбрасываются две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?
Решение Даламбера.
Опыт имеет три равновозможных исхода:
1. Обе монеты упадут на «орла»;
2. Обе монеты упадут на «решку»;
3. Одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .
Правильное решение.
Опыт имеет четыре равновозможных исхода:
1. Первая монета упадет на «орла», вторая тоже на «орла»;
2. Первая монета упадет на «решку», вторая тоже на «решку»;
3. Первая монета упадет на «орла», а вторая — на «решку»;
4. Первая монета упадет на «решку», а вторая — на «орла».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .
Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 6691;