Автоколебательные системы томпсоновского типа

Уже было отмечено, что для автоколебательных систем томпсоновского типа характерны малая нелинейность и малое затухание за период колебаний. Это системы осцилляторного типа, и колебания в таких системах почти гармонические.

Рис. 42. Схема генератора с контуром в цепи управляющего напряжения.

Рис. 43. Схема генератора с контуром в цепи управляемого тока.

Рассмотрим автоколебательные системы с цепью обратной связи. В подобных системах накопителем энергии служит достаточно добротный колебательный контур, а вложение энергии, компенсирующее потери и полезный отбор энергии, осуществляется с помощью активного элемента и цепи обратной связи. В качестве активного элемента в электрических автоколебательных системах чаще всего используют полевые транзисторы, большое входное сопротивление которых не ухудшает добротность колебательного контура. При этом возможны два варианта автогенераторов: с колебательным контуром в цепи управляющего напряжения (рис. 42) и с колебательным контуром в цепи управляемого тока (рис. 43). Активный элемент на этих схемах показан треугольником.

Для генератора с колебательным контуром в цепи управляемого тока (рис. 43) можно записать закон Кирхгофа

.

(6.7)

Пусть в качестве нелинейного элемента используется полевой транзистор, линейная характеристика которого описывается уравнением i = i_С0 + Su, где i_С0 - начальный ток стока, S - крутизна характеристики. Очевидно, что u = q/C = q₀x/C, где q₀ - амплитуда заряда на конденсаторе, тогда уравнение (6.7) запишется следующим образом:

.

В нормированных координатах:

,

где 2h = R/(w₀L), t = w₀t, . Если SMw₀ > 2h, то в системе будет нарастающий колебательный процесс; если SMw₀ < 2h, то амплитуда колебаний будет уменьшаться, т. е. режим стабильной амплитуды практически недостижим.

Нужно отметить, что при сделанных предположениях самовозбуждающиеся колебания в исследуемых системах нарастают неограниченно, чего не происходит в реальных системах. Это связано с тем, что принятая нами линейная аппроксимация ВАХ активного элемента пригодна лишь для небольших пределов изменения x. Это означает также, что при линейной характеристике невозможно получение стационарных автоколебаний и при их описании с помощью фазовой плоскости мы не будем иметь замкнутой фазовой траектории - предельного цикла.

В реальных генераторах выход на стабильную амплитуду достигается за счёт нелинейности усилителя или цепи обратной связи. В рассмотрении автоколебательных систем при нелинейных ВАХ метод комплексных амплитуд не работает, но работает метод гармонического баланса. Воспользуемся разновидностью МГБ - методом колебательных характеристик (МКХ). В этом методе вводится усреднённая крутизна нелинейной характеристики, которая является переменной величиной, зависящей от амплитуды колебаний управляющего напряжения. Будем считать, что цепь обратной связи - высокодобротный колебательный контур. Для такого колебательного контура можно считать напряжение на усилителе синусоидальным, тогда u(t) = Ucos(w₀t), где w₀ - собственная частота колебательного контура. Ток на выходе нелинейного усилителя будет периодической функцией времени, и эту функцию можно разложить в ряд Фурье

В рамках гармонического баланса, благодаря высокой добротности колебательного контура, можно ограничиться только основной гармоникой ряда. Введём колебательную характеристику элемента

.

Тогда зависимость выходного тока усилителя от амплитуды напряжения на его входе принимает вид, аналогичный характеристике полевого транзистора:

.

Это уравнение подставим в (6.7), откуда для стационарного режима получаем:

,

а отсюда находим :

.

(6.8)

В зависимости от выбора рабочей точки колебательная характеристика может быть как монотонной, так и не монотонной.

В качестве примера рассмотрим случай, когда активным элементом является МОП-транзистор с встроенным каналом. На рис. 44 показана нелинейная характеристика такого транзистора: i_с = j(u_зи).

Рис. 44. Характеристика зависимости тока стока iс от напряжения uзи на затворе МОП-транзистора.

Рис. 45. Кривая средней крутизны для случая, когда рабочая точка соответствует максимальной крутизне.

Для рабочей точки 1 вблизи начального тока стока колебательная характеристика является монотонной (рис. 45). В этом случае находим единственное решение - стационарную амплитуду колебаний U₀, при которой в системе обеспечивается баланс вкладываемой и рассеиваемой энергии за период колебаний. Из того же рисунка следует, что полученное решение U₀ не только единственно возможно, но и устойчиво. Действительно, если амплитуда колебаний U станет больше U₀, то потери в системе, пропорциональные RC/M, будут превышать вложение энергии, пропорциональное , и амплитуда U вернётся в точку U₀. И наоборот, если U станет меньше U₀, то вложение энергии будет превосходить потери и, как следствие, амплитуда колебаний снова увеличится до значения U₀.

Таким образом, фазовые траектории для такого случая будут выглядеть как показано на рис. 46 (когда ) и рис. 47 (когда ). Такой режим возбуждения с выходом на предельный цикл называется мягким.

Рис. 46. Фазовый портрет автоколебательной системы томпсоновского типа при мягком режиме возбуждения для .

Рис. 47. Фазовый портрет автоколебательной системы томпсоновского типа при мягком режиме возбуждения для .

Выберем рабочую точку 2 где-то на изгибе характеристики, как показано на рис. 44, тогда зависимость усреднённой крутизны от амплитуды колебаний U будет немонотонной (рис. 48). При таком режиме возбуждения в потенциально автоколебательной системе не происходит самовозбуждения, т. е., если флуктуации (амплитуды толчков) в системе не превышают значения неустойчивой стационарной амплитуды U1, то эти флуктуации спадают до нуля. Поэтому для возбуждения

Рис. 48. Кривая средней крутизны для случая, когда рабочая точка находится на изгибе ВАХ.

автоколебательной системы с такой колебательной характеристикой необходимо сообщить ей толчок, величина которого U должна быть больше или равна U₁ (жёсткое возбуждение).

Качественное определение устойчивости стационарных амплитуд U₁ и U₂, аналогичное случаю мягкого режима, показывает, что решение U₁ неустойчиво, а решение U₂ устойчиво. Фазовый портрет для такого случая показан на рис. 49.

Рис. 49.Фазовые траектории автоколебательной системы томпсоновского типа при жёстком режиме возбуждения.	Применим теперь метод ММА к автоколебательным системам томпсоновского типа. На рис. 37 приведена обобщённая схема автоколебательной системы с активным элементом с характеристикой N-типа. В качестве такого элемента возьмём туннельный диод (рис. 50), ВАХ которого показан на рис. 9. Запишем уравнение Кирхгофа для токов в контуре . Из ВАХ (рис.9) видно, что i(uак = E) = i0. Введём новую переменную u = E - uак. При полиномиальной аппроксимации тока активного элемента получим , где a0 > 0, b0 < 0, g0 < 0. Тогда для нашей системы можно записать следующее уравнение движения:
Рис. 50. Автоколебательная система, в которой в качестве активного элемента взят туннельный диод.	,	(6.9)
где , , , , , , x = u/u0, t = w0t. Введённый таким способом коэффициент k называется коэффициентом регенерации и показывает соотношение между вложением и потерями энергии в колебательной

системе при различных значениях её параметров. Если считать, что коэффициент регенерации k и коэффициенты нелинейности b и g удовлетворяют требованиям |k| << 1, |b| << 1, |g| << 1, то к такой системе применим метод ММА. Ищем решение в виде x(t) = u(t)cos(t) + v(t)sin(t), , тогда укороченные уравнения имеют вид

,

(6.10)

где z = u² + v². Умножив первое из (6.10) на u, а второе на v и сложив их, получим

.

(6.11)

В укороченных уравнениях (6.10) и (6.11) отсутствуют члены с коэффициентом b, откуда следует, что квадратичные члены при усреднении не влияют на процессы установления и стационарные амплитуды в таких автономных автоколебательных режимах работы.

Для этой системы существуют два стационарных решения ( ). Одно из них является нулевым решением и соответствует состоянию покоя u₀ = v₀ = z₀ = 0, другое - с отличной от нуля амплитудой - имеет вид z₀ = -4k/g. Так как заведомо z > 0, тогда, чтобы существовал предельный цикл, то необходимо k > 0. Проанализируем устойчивость стационарных состояний системы. Выберем некоторое отклонение x. В случае состояния покоя системы z = 0 + x, и тогда уравнение для возмущений в первом приближении имеет вид . Таким образом, как видно, знак коэффициента регенерации k определяет устойчивость состояния покоя: при k > 0 (a > 2q) состояние покоя неустойчиво, происходит самовозбуждение; при k < 0 (a < 2q) состояние покоя устойчиво. В случае ненулевой стационарной амплитуды её значение при возмущении x запишется как z = -4k/g + x ; тогда уравнение для возмущения примет вид . При k > 0 (a > 2q) ненулевая стационарная амплитуда устойчива, при k < 0 (a < 2q) амплитуда неустойчива.