Частотный критерий абсолютной устойчивости

Выше мы уже получали условия абсолютной устой­чивости в различных случаях. Аналогично для цели ис­следования абсолютной устойчивости нелинейных систем служит частотный критерий устойчивости В. М. Попова. Он дает достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейной системы по виду частотной характеристики линейной части системы.

Пусть в системе имеется одна однозначная нелиней­ность F(x) (рис. 5.18). Рассмотрим два случая расположения характеристики: пер­вый — нелинейная характе­ристика расположена в сек­торе , как на рис. 5.18, второй — в секторе , что будет показано ниже.

Рис. 5.18. Нелиней­ная

характе­ристика

в сек­торе

Начнем с первого случая:

(5.38)

Линейная часть системы описывается уравнением

причем степень многочлена Q(p) больше степени многочлена R(p). Передаточная функция линейной части имеет полю­сы с отрицательными вещественными частями, причем допускается наличие не более двух нулевых полюсов.

Приведем без доказательства формулировку теоремы В. М. Попова.

Теорема Попова. Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе и существу­ет такое действительное число h, что при всех выполняется неравенство

(5.39)

где — амплитудно-фазовая частотная характери­стика линейной части системы.

Для удобства графического представления этого кри­терия вводится модифицированная частотная характери­стика линейной части

где

(5.40)

Следовательно, график имеет вид, аналогич­ный амплитудно-фазовой характеристике линейной части и отличается от нее только масштабом по мнимой оси (рис. 5.19).

Рис. 5.19. График

Поскольку выражение (5.39) можно за­писать в виде

,

то с подстановкой (5.40) оно преобразуется к виду

(5.41)

Выражение

(5.42)

представляет собой уравнение прямой на плоскости пря­моугольных координат , . Эта прямая проходит через точку на оси и имеет крутизну накло­на .

Отсюда вытекает следующая формулировка.

Критерий абсолютной устойчивости. Состояние равно­весия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если не­линейная характеристика F(x) находится внутри сектора и можно провести через точку прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа).

На рис. 5.20 показаны случаи, когда критерий абсо­лютной устойчивости выполняется, а на рис. 5.21 — когда не выполняется.

а) б)

Рис.5.20. Выполнение критерия

абсо­лютной устойчивости

а) б)

Рис. 5.21. Невыполнение критерия

абсо­лютной устойчивости

Интересно получить с помощью этого критерия усло­вия абсолютной устойчивости для той же системы самолета с нелинейным автопилотом, которая была рас­смотрена выше методом Ляпунова (раздел 5.3) и методом гар­монической линеаризации (раздел 5.4). Особенность там состоит в том, что допускалось расположение нелинейной характеристики во всей I (и III) четверти, т. е., в секторе , где . Поэтому прямая в частотном крите­рии должна проходить через начало координат.

Решим эту задачу сначала аналитически, а затем проиллюстрируем графически. Условие (5.39) при принимает вид

(5.43)

а вместо (5.41) получаем

(5.44)

Для указанного примера (раздел 5.4) уравнения (5.24) можно преобразовать к виду

где обозначено , причем р — операторный сим­вол производной по τ ( ). Передаточная функция линейной части системы записывается в виде

а, следовательно,

Умножив числитель и знаменатель на , получим

а согласно (5.40)

(5.45)

Неравенство (5.45) принимает вид

(5.46)

Очевидно, что это неравенство может быть выполнено при любом , если

(5.47)

и если h берется сколь угодно большим, чтобы обеспе­чить неравенство (5.46) при сколь угодно малых ω. Полученное условие (5.47) выполняется при

если

если

что точно совпадает с найденными ранее условиями аб­солютной устойчивости данной системы (5.20) и (5.21).

Графически критерий устойчивости выражается в том, что вся кривая , построенная согласно (5.45), расположена (рис. 5.22, а) справа от прямой , обозначенной штрих - пунктирной линией, со сколь угодно малым наклоном, если .

а) б)

Рис.5.22. Графическая интерпретация критерия устойчивости

Если же (рис. 5.22, б), то такую прямую провести невозможно и, следовательно, нелиней­ная система не будет абсолютно устойчивой.

Здесь был приведен простой пример, в котором усло­вия устойчивости выражаются в аналитическом виде. В большинстве технических задач этого не получится. Однако видно, что описанный частотный критерий устой­чивости в его графической форме может быть применен для систем с одной однозначной нелинейностью при лю­бой сложности линейной части системы и численно за­данных коэффициентах уравнений.

Перейдем к случаю, когда нелинейная характеристика F(x) расположена в секторе , т. е.

(5.48)

что показано на рис. 5.23. Здесь неравенство (5.39) в теореме В. М. Попова принимает вид

(5.49)

После преобразований приходим к выражению

Введя в рассмотрение модифицированную частотную ха­рактеристику (5.41), получаем, что уравнение

на плоскости координат модифицированной частотной характеристики ( , ) дает параболу, проходящую че­рез точки и и имеющую в этих точках крутизну наклона касательных соответственно и . Построение параболы приведено на рис. 5.24.

Pиc. 5.23. График F(x) Рис. 5.24. Построение

расположенный в параболы

секторе

Формулировка критерия следующая.

Состояние рав­новесия нелинейной системы будет абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится внутри сек­тора и можно провести через точки и такую параболу с вертикальной осью, чтобы модифицированная частотная характеристика линейной ча­сти лежала вне этой пара­болы.

Иллюстрация выполне­ния критерия дана на рис. 5.25, откуда легко ви­деть, что этот критерий ус­тойчивости дает более широ­кую область устойчивости, чем предыдущий.

Рис. 5.25. Иллюстрация

выполне­ния критерия

Видно, что на рис. 5.25 нельзя про­вести прямую через точку так, чтобы она не пе­ресекала модифицированную частотную характеристику . Следовательно, дан­ная система, абсолютно устойчивая при нелинейности, расположенной в секторе , не будет обладать абсолютной устойчивостью (в смысле достаточных условий), если сектор расположе­ния нелинейности расширится до .

5.6. Контрольные вопросы к главе 5

1. Какие существуют типы движений?

2. Какая функция называется знакоопределенной (знакопостоянной, знакопеременной)?

3. Какая функция называется функцией Ляпунова?

4. Как может быть определена граница устойчивости?

5. Как найти границы устойчивости?

6. Чем определяется область абсолютной устойчивости?

7. Можно ли исследовать нелинейную систему методом гармонической линеаризации с помощью критерия Михайлова?

8. Как может располагаться нелинейная характеристика?

9. Какие условия устойчивости (необходимые или достаточные) дает критерий В. М. Попова?

10.Используется ли в критерии В. М. Попова частотная характеристика линейной части системы?