T-критерий Стьюдента или t-тест

t-критерий Стьюдента направлен на оценку различий величин средних М_х и М_у двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у зависимых и независимых выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

1. Случай независимых выборок

Независимые выборки получаются при исследовании двух различных групп испытуемых (в нашем эксперименте это контрольная и опытная группы). В общем случае формула для расчета по t-критерию Стьюдента такова:

, (10.1)

где М_х – средняя выборки Х;

М_у – средняя выборки Y;

S_х – стандартное отклонение для выборки X;

s_у – стандартное отклонение для выборки Y;

n₁ и n₂ – число элементов в первой и второй выборках.

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n₁ = n₂ = n, тогда знаменатель выражения (10.1) примет вид:

, (10.2)

где , а .

В случае неравночисленных выборок n₁ ≠ n₂, знаменатель выражения (10.1) будет вычисляться следующим образом:

, (10.3)

где , а .

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

k = (п₁ – 1) + (n₂ – 1) = п₁ + п₂ – 2, (10.4)

где n_l и n₂, соответственно, величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2∙n – 2 .

Теперь осталось лишь найти в таблице критических значений t (таблица 3 приложения 1) величину, соответствующую k степеням свободы, и сравнить эту величину с результатом расчета по формуле.

Если наш результат больше, чем значение для уровня достоверности 0,05 (вероятность 5%), найденное в таблице, то можно отбросить нулевую гипотезу (Н_о) и принять альтернативную гипотезу (Н₁), т.е. считать разницу средних достоверной.

Если же, напротив, полученный при вычислении результат меньше, чем табличный (для k степеней свободы), то нулевую гипотезу нельзя отбросить, и, следовательно, разница средних недостоверна.

Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для независимых (несвязных) и неравных по численности выборок.

Задача 10.1. Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.

Н₀: Средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в контрольной и экспериментальной группах не отличаются между собой.

Н₁: Средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в контрольной и экспериментальной группах отличаются между собой.

Результаты эксперимента представим в виде таблицы 10.1, в которой произведем ряд необходи­мых расчетов.

Таблица 10.1

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе , в контрольной группе .

Разница по абсолютной величине между средними

.

Подсчет выражения 10.3 дает:

.

Тогда значение t_эмп, вычисляемое по формуле (10.1), таково:

.

Число степеней свободы k = 9 + 8 – 2 =15.

По таблице 3 приложения 1 для данного числа степеней свободы находим:

Строим «ось значимости».

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,1% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза Н₀ о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза Н₁ – о различии между экспериментальной и контрольными группами.

2. Случай зависимых выборок

К зависимым выборкам относятся, например, результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия независимой переменной. В случае зависимых (связных) выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t_эмп осуществляется по формуле:

, (10.5)

где , (10.6)

где d_i = x_i – y_i – разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а среднее этих разностей.

В свою очередь знаменатель выражения (10.5) вычисляется по следующей формуле:

. (10.7)

Полученные результаты сверяют с таблицей критических значений t (таблица 3 приложения 1), отыскивая в ней значения, соответствующие k = n – 1 степени свободы; n – это в данном случае число пар данных.

Перед тем как использовать формулу, необходимо вычислить для каждой группы частные разности между результатами во всех парах, квадрат каждой из этих разностей, сумму этих разностей и сумму их квадратов. Все эти расчеты необходимо сделать в чисто учебных целях. Сейчас существуют более быстрые методы, при которых основная работа сводится к вводу данных в программируемый микрокалькулятор или в компьютер, который автоматически выдает результат.

Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для зависимых (связных) и, очевидно, равных по численности выборок.

Задача 10.2. Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» (т. е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы:

Н₀: в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» не будет значимо изменяться.

Н₁: в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» будет значимо изменяться.

Решение задачи представим в виде таблицы 10.2.

Таблица 10.2

Вначале произведем расчет по формуле (10.6):

.

Затем применим формулу (10.7), получим:

.

И, наконец, следует применить формулу (10.5). Получим:

.

Число степеней свободы: k = 8 – 1 = 7 и по таблице 3 при­ложения 1 находим t_кp:

Строим «ось значимости».

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уров­не гипотеза Н₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁ – о различиях.

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

F-критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов наблюдений. Для вычисления F_эмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая в знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова:

, (10.8)

где (10.9)

и . (10.10)

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение F_эмп всегда будет больше или равно единице, т. е. F_эмп ≥ 1. Число степеней свободы определяется также просто: k₁ = n₁ – 1 для первой (т. е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k₂ = n₂ – 1 для второй выборки. В таблице 4 приложения 1 критические значения критерия Фишера F_кр находятся по величинам k₁ (верхняя строчка таблицы) и k₂ (левый столбец таблицы).

Задача 10.3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос – есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих классах.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: различия в степени однородности показателей умственного развития между классами отсутствуют.

Н₁: различия в степени однородности показателей умственного развития между классами присутствуют.

Результаты тестирования представлены в таблице 10.3.

Таблица 10.3

Как видно из таблицы, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 = 63,6 и величина t-критерия Стьюдента оказалась равной 0,347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем

; .

Тогда по формуле (10.8) для расчета по F критерию Фишера находим:

.

По таблице 4 приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях, равных k = 10 – 1 = 9, находим F_кp.

Строим «ось значимости».

Таким образом, полученная величина F_эмп попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что H₀ (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н₁. Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.