T-критерий Стьюдента или t-тест


t-критерий Стьюдента направлен на оценку различий величин средних Мх и Му двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у зависимых и независимых выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

1. Случай независимых выборок

Независимые выборки получаются при исследовании двух различных групп испытуемых (в нашем эксперименте это контрольная и опытная группы). В общем случае формула для расчета по t-критерию Стьюдента такова:

, (10.1)

где Мх – средняя выборки Х;

Му – средняя выборки Y;

Sх – стандартное отклонение для выборки X;

sу – стандартное отклонение для выборки Y;

n1 и n2 – число элементов в первой и второй выборках.

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n1 = n2 = n, тогда знаменатель выражения (10.1) примет вид:

, (10.2)

где , а .

В случае неравночисленных выборок n1 ≠ n2, знаменатель выражения (10.1) будет вычисляться следующим образом:

, (10.3)

где , а .

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

k = (п1 – 1) + (n2 – 1) = п1 + п2 – 2, (10.4)

где nl и n2, соответственно, величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2∙n – 2 .

Теперь осталось лишь найти в таблице критических значений t (таблица 3 приложения 1) величину, соответствующую k степеням свободы, и сравнить эту величину с результатом расчета по формуле.

Если наш результат больше, чем значение для уровня достоверности 0,05 (вероятность 5%), найденное в таблице, то можно отбросить нулевую гипотезу (Но) и принять альтернативную гипотезу (Н1), т.е. считать разницу средних достоверной.

Если же, напротив, полученный при вычислении результат меньше, чем табличный (для k степеней свободы), то нулевую гипотезу нельзя отбросить, и, следовательно, разница средних недостоверна.

Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для независимых (несвязных) и неравных по численности выборок.

Задача 10.1. Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.

Н0: Средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в контрольной и экспериментальной группах не отличаются между собой.

Н1: Средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в контрольной и экспериментальной группах отличаются между собой.

Результаты эксперимента представим в виде таблицы 10.1, в которой произведем ряд необходи­мых расчетов.

 

Таблица 10.1

 

Группы Отклонения от среднего Квадраты отклонений
X Y i-Mx) (yi-My) i-Mx)2 (yi-My)2
- 22 - 58
- 106
- 17
- 77
- 36
- 8
- 56
Сумма
Среднее        

 

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе , в контрольной группе .

Разница по абсолютной величине между средними

.

Подсчет выражения 10.3 дает:

.

Тогда значение tэмп, вычисляемое по формуле (10.1), таково:

.

Число степеней свободы k = 9 + 8 – 2 =15.

По таблице 3 приложения 1 для данного числа степеней свободы находим:

Строим «ось значимости».

 

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,1% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза Н0 о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза Н1 – о различии между экспериментальной и контрольными группами.

2. Случай зависимых выборок

К зависимым выборкам относятся, например, результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия независимой переменной. В случае зависимых (связных) выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения tэмп осуществляется по формуле:

, (10.5)

где , (10.6)

где di = xi – yi – разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а среднее этих разностей.

В свою очередь знаменатель выражения (10.5) вычисляется по следующей формуле:

. (10.7)

Полученные результаты сверяют с таблицей критических значений t (таблица 3 приложения 1), отыскивая в ней значения, соответствующие k = n – 1 степени свободы; n – это в данном случае число пар данных.

Перед тем как использовать формулу, необходимо вычислить для каждой группы частные разности между результатами во всех парах, квадрат каждой из этих разностей, сумму этих разностей и сумму их квадратов. Все эти расчеты необходимо сделать в чисто учебных целях. Сейчас существуют более быстрые методы, при которых основная работа сводится к вводу данных в программируемый микрокалькулятор или в компьютер, который автоматически выдает результат.

Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для зависимых (связных) и, очевидно, равных по численности выборок.

Задача 10.2. Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» (т. е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы:

Н0: в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» не будет значимо изменяться.

Н1: в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» будет значимо изменяться.

Решение задачи представим в виде таблицы 10.2.

 

Таблица 10.2

 

№ испытуемого 1 задача 3 задача d d2
4,0 3,0 1,0 1,0
3,5 3,0 0,5 0,25
4,1 3,8 0,3 0,09
5,5 2,1 3,4 11,56
4,9 -0,3 0,09
6,0 5,3 0,7 0,49
5,1 3,1 2,0 4,00
4,3 2,7 1,6 2,56
Суммы 37,1 27,9 9,2 20,04

 

Вначале произведем расчет по формуле (10.6):

.

 

Затем применим формулу (10.7), получим:

.

И, наконец, следует применить формулу (10.5). Получим:

.

Число степеней свободы: k = 8 – 1 = 7 и по таблице 3 при­ложения 1 находим tкp:

Строим «ось значимости».

 

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уров­не гипотеза Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 – о различиях.

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

F-критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов наблюдений. Для вычисления Fэмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая в знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова:

, (10.8)

где (10.9)

и . (10.10)

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение Fэмп всегда будет больше или равно единице, т. е. Fэмп ≥ 1. Число степеней свободы определяется также просто: k1 = n1 – 1 для первой (т. е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k2 = n2 – 1 для второй выборки. В таблице 4 приложения 1 критические значения критерия Фишера Fкр находятся по величинам k1 (верхняя строчка таблицы) и k2 (левый столбец таблицы).

Задача 10.3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос – есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих классах.

Сформулируем гипотезы.

Н0: различия в степени однородности показателей умственного развития между классами отсутствуют.

Н1: различия в степени однородности показателей умственного развития между классами присутствуют.

Результаты тестирования представлены в таблице 10.3.

 

Таблица 10.3

 

№ учащихся Первый класс X Второй класс Y №№ учащихся n/n Первый класс X Второй класс Y
Суммы  
Среднее   60,6 63,6

Как видно из таблицы, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 = 63,6 и величина t-критерия Стьюдента оказалась равной 0,347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем

; .

Тогда по формуле (10.8) для расчета по F критерию Фишера находим:

.

По таблице 4 приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях, равных k = 10 – 1 = 9, находим Fкp.

Строим «ось значимости».

 

Таким образом, полученная величина Fэмп попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что H0 (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н1. Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.



Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 1660;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.018 сек.