Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики

Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозиции отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в зависимости от размера амплитуды колебаний, с нали­чием не единственного установившегося режима и воз­можностью перескоков с одного режима на другой, с осо­бенностями высших гармоник, субгармоник, комбина­ционных частот и с многими другими факторами.

В данном разделе мы рассмотрим случай одночастотной системы с частотой внеш­него периодического воздействия, и найдем условия их существо­вания.

Рассмотрим нелинейную систе­му с внешним воздействием (рис. 4.27), заданным в виде

(6.1)

Уравнение динамики системы имеет вид

(6.2)

Решение для вынужденных колебаний будем искать при­ближенно в форме

(6.3)

где ω задано, а неизвестными являются амплитуда α и фаза φ.

Произведем гармоническую линеаризацию нелиней­ности:

(6.4)

где коэффициенты и вычисляются для сим­метричных (нечетных) нелинейностей по прежним формулам (4.11), если в них положить . Для конкретных нелинейностей можно здесь использовать формулы, полученные в разделе 4.2.

Подставим (6.1), (6.3) и (6.4) в уравнение систе­мы (6.2):

(6.5)

Используем символический метод определения периоди­ческого решения, подставив сюда , а вместо выражение . Тогда полу­чим

или

(6.6)

где

(6.7)

Уравнение (6.6) с двумя неизвестными α и φ можно решить графически, как показано на рис. 6.2. Правая часть (6.6) изображается в виде окружности радиуса B, а левая часть строится как кривая по точкам с пе­ременным параметром α. Точки пересечения окружности с кривой дают решение, причем величина ампли­туды вынужденных колебаний определяется в точке пересечения по отметкам на кривой Z, а фаза — по вели­чине угла (рис. 6.2).

Рис.6.2. Графическое

решение уравнения (6.6)

На рис. 6.2 окружности пересекают кривую только при радиусе, большем некоторого порогового значения . Следовательно, в этом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при достаточно большой амплитуде В, а при меньшей ампли­туде В внешнего воздействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту системы.

Построив серию кривых по формуле (6.7) для разных значений частоты внешнего воздействия ω (рис. 6.3), можем построить график зависимости поро­гового значения В от частоты ω, например, в виде, изоб­раженном на рис. 6.4, где ω_α - частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений В и ω, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захватыва­ния. Явление захватывания состоит в том, что при собственные колебания (автоколебания) срывают­ся и система переходит целиком на одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия. Строго говоря, эти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоидальными. В соответствии со свойством фильтра линейной части (раздел 4.1) они для перемен­ной х будут только близки к синусоидальным (6.3).

На основании рис. 6.3 можно построить зависимости α(ω) и φ(ω), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3). В ли­нейных системах частотные характеристики А (ω) и φ(ω) не зависели от размера входной амплитуды и вычисля­лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик и φ(ω) может существенно зависеть от раз­мера B. Поэтому для разных значений В получается се­рия частотных характеристик (рис. 6.5) замкнутой сис­темы по первой гармонике.

Рис. 6.3. Серия кривых Рис. 6.4. Зависимость

для разных значений поро­гового значения В

частоты внешнего от частоты ω

воздействия

Рис.6.5. Частотные

характеристики для

разных значений В

Пример.6.1. Пусть уравнение системы имеет вид

при гистерезисной нелинейности (рис. 6.6) и . Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), бу­дем иметь

Для заданной частоты и заданных пара­метров системы , , , , , кривая изображена на рис. 6.6, где отмечены значения α. Проведя окружности разных радиу­сов В, по точкам пересечения определим зависимости и (рис. 6.7) для вынужденных колебаний при данной частоте.

Рис. 6.6.Построение Рис.6.7. Определение

кривой зависимостей и