Q-критерий Розенбаума

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако, если критерии Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет. В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимости р ≤ 0,01, можно ограничиться только им и избежать трудностей применения других критериев.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q-критерия просто невозможны. Например, если у нас только 3 значения признака, 1, 2 и 3, – нам очень трудно будет установить различия. Метод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Применение критерия начинаем с того, что упорядочиваем значения признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию) признака. Лучше всего, если данные каждого испытуемого представлены на отдельной карточке. Тогда ничего не стоит упорядочить два ряда значений по интересующему нас признаку, раскладывая карточки на столе. Так мы сразу увидим, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд значений «выше» (S₁), а второй – «ниже» (S₂). Для того, чтобы не запутаться в этом и во многих других критериях, рекомендуется первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым рядом – тот, где значения ниже.

Гипотезы

Н₀: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.

Н₁: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в выборке 2.

Ограничения критерия Q

1. В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 наблюдений. При этом объемы выборок должны примерно совпадать. Е. В. Гублером указываются следующие правила:

а) если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между n₁ и n₂ не должна быть больше 10 наблюдений;

б) если в каждой из выборок больше 51 наблюдения, но меньше 100, то абсолютная величина разности между n₁ и n₂ не должна быть больше 20 наблюдений;

в) если в каждой из выборок больше 100 наблюдений, то допускается, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1,5-2 раза [13].

2. Диапазоны разброса значений в двух выборках должны не совпадать между собой, в противном случае применение критерия бессмысленно. Между тем, возможны случаи, когда диапазоны разброса значений совпадают, но, вследствие разносторонней асимметрии двух распределений различия в средних величинах признаков существенны (рис. 11.2., 11.3).

Рис. 11.2. Вариант соотношения распределений признака,

при котором критерий Q беспомощен

Рис. 11.3. Вариант соотношения распределений признака,

при котором критерий Q может быть могущественным

Пример.У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уровень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 – студентами психологического факультета Ленинградского университета (Сидоренко Е. В., 1978). Показатели вербального интеллекта представлены в таблице 11.1.

Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Таблица 11.1

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студентов физического (n₁ = 14) и психологического (n₂ = 12) факультетов

Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем
гипотезы:

H₀: Студенты-физики не превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

Н₁: Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.

АЛГОРИТМ

Подсчет критерия Q Розенбаума

1. Проверить, выполняются ли ограничения: n₁, n₂ ≥ 11, n₁ ≈ n₂.

2. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака. Считать выборкой 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 – ту, где значения предположительно ниже.

3. Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.

4. Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S₁.

5. Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.

6. Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S₂.

7. Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Q = S₁ + S₂.

8. По таблице 9 приложения 1 определить критические значения Q для данных n₁ и n₂. Если Q_эмп равно Q_0,05 или превышает его, Н₀ отвергается.

9. При n₁, n₂ > 26 сопоставить полученное эмпирическое значение с Q_кр = 8 (p ≤ 0,05) и Q_кр = 10 (р ≤ 0,01). Если Q_эмп превышает или по крайней мере равняется Q_кр = 8, Н₀ отвергается.

Как видно из таблицы 11.2, мы правильно обозначили ряды: первый, тот, что «выше», – ряд физиков, а второй, тот, что «ниже», – ряд психологов.

По таблице 11.2 определяем количество значений первого ряда, которые больше максимального значения второго ряда: S₁ = 5.

Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: S₂ = 6.

Вычисляем Q_эмп. по формуле:

Q_эмп.= S₁ + S₂ = 5 + 6 = 11.

Таблица 11.2