Средняя арифметическая

Основной формой средних является средняя арифметическая. Формула ее прямо отвечает определению средней величины, как обобщенной характеристики единицы совокупности:

или

То есть, все значения единиц нужно просуммировать и разделить на число единиц. В совокупностях, в которых одни и те же значения многократно повторяются, проводят группировку данных и объем совокупности определяют путем перемножения (взвешивания) его вариантов на число единиц в группах и только потом суммируют итоги по группам и делят на сумму частот (весов).

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних величин. Она обладает рядом математических свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и в некоторых случаях используются для упрощения ее расчетов. Основные из них следующие:

1. - сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равна нулю. Поэтому среднюю можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше средней величины взаимно уравновешиваются.

2. ² = min - сумма квадратов отклонений от

средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от любой другой величины А.

3. - Если от каждой варианты отнять какое-

либо произвольное число А, то новая средняя уменьшится на то же число.

4. - Если к каждой варианте прибавить какое-

либо произвольное число А, то новая средняя увеличится на то же число.

5. - Произведение средней на сумму частот

всегда равно сумме произведений вариант на частоты.

6 . - Если каждую варианту разделить на какое-

либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз.

7 . - Если каждую варианту умножить на какое-

либо произвольное число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз.

8 . - Если все частоты (веса) разделить или

умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

С помощью средних обобщают не только абсолютные, но и относительные величины (на основе значений как первичных, так и вторичных признаков. Порядок расчета и форма средней зависят от взаимосвязи изучаемых признаков и от того, какими данными располагают. Средние первичных признаков определяются по формуле простой средней путем деления итогового подсчета по характеризуемому признаку на перечневый подсчет, то есть по формуле

(числитель - общая сумма значений усредняемого

признака, знаменатель – общее число единиц изучаемой совокупности). Базой для расчета значений вторичного признака является исходное соотношение первичных признаков, определяющих логическую формулу усредняемого вторичного признака. Далее определяется частное от деления итоговых подсчетов по этим первичным признакам.

В случае, когда один из итоговых показателей не известен, расчет средней производят на основе исходных данных о значении усредняемого вторичного признака каждой отдельной единицы совокупности и связанного с ним признака-веса.

Таким образом, средняя вторичного признака имеет вид средней взвешенной. Если известны значения знаменателя исходного отношения, но не известны значения числителя, то среднюю вычисляют по формуле средней арифметической взвешенной:

В противном случае среднюю вычисляют по формуле средней гармонической взвешенной:

.

Для каждого показателя можно составит только одно исходное соотношение для расчета средней (ИСС). Числитель исходного соотношения средней отражает ее определяющий показатель. Например, для расчета средней зарплаты работников предприятия необходимо общий фонд ЗП (определяющий показатель) разделить на число работников.