Параметрические системы, соотношения Менли-Роу
Системы с n степенями свободы находят применение в параметрических и автоколебательных устройствах. Параметрическая система с n степенями свободы состоит из нелинейной реактивности и линейной цепи с n контурами, настроенными на комбинационные частоты двух внешних сигналов, действующих на систему. Менли и Роу показали, что между мощностями, выделяющимися в каждом из контуров, существуют определённые соотношения. Эти соотношения позволяют определять максимальные коэффициенты усиления и преобразования сложной параметрической системы.
Рассмотрим поведение нелинейной ёмкости C(u) под действием двух источников напряжения с частотами w1 и wн. Как показано в пункте 7.3, в спектре тока появятся комбинационные частоты wml = mwн + lw1 > 0. Запишем закон сохранения числа квантов накачки wн в системе. Если генератор накачки отдаёт в систему мощность P10, то в единицу времени поступает квантов накачки. Эти кванты расходуются на образование колебаний с комбинационными частотами. Генератор накачки не является единственным в схеме источником квантов накачки. Дело в том, что при образовании кванта комбинационной частоты wml = mwн + lw1 > 0 при m < 0 одновременно происходит выделение квантов накачки. Образование одного кванта частоты wm,l сопровождается поглощением l квантов частоты w1 и выделением |m| квантов накачки wн. так как . Естественно, что при этом l > |m|wн/w1. Полное число квантов накачки, выделяющихся в системе при выделении мощности Pml < 0 на комбинационной частоте равно . Суммируя по всем возможным m < 0 и по всем возможным l (l > |m|wн/w1), а также прибавляя число квантов, приходящих от генератора накачки, получим общее число квантов, выделяющихся в системе:
, | (8.52) |
Все эти кванты расходуются на образование комбинационных частот с m > 0.
Рассмотрим комбинационное колебание с частотой wml = mwн + lw1, для которого m > 0. Число l в этом случае может быть любым числом, большим -mwн/w1. При образовании одного кванта частоты wml затрачивается т квантов накачки, так как . Полное число квантов частоты wml, выделяющееся в системе за единицу времени, равно . На образование этих квантов в единицу времени затрачивается квантов накачки. Суммируя по всем m > 0 и l > -mwн/w1, получим
. | (8.53) |
Отметим, что в выражении (8.53) необходимо исключить слагаемое с m = 1 и l = 0, так как оно уже вошло в формулу (8.52) как . Закон сохранения числа квантов накачки теперь принимает вид:
.
Сменив знаки у индекса суммирования во втором слагаемом, включив слагаемое в сумму как член с m = 1 и l = 0, и умножив всю сумму на , получим первое соотношение Менли-Роу:
. | (8.54) |
Здесь добавлено нулевое слагаемое с m = 0.
Аналогичным образом можно получить и второе соотношение Менли-Роу, представляющее собой закон сохранения квантов сигнала
. | (8.55) |
Отметим, что оба соотношения Менли-Роу получены в предположении, что реактивный нелинейный элемент не имеет потерь.
В каждое из соотношений Менли-Роу входят члены, соответствующие всем частотам схемы, но в (8.54) отрицательными являются частоты с m < 0, а в соотношении (8.55) - с l < 0, поэтому формально в этих соотношениях все суммы можно писать от -¥ до ¥, так как Pml = P(-m)(-l).
Из соотношений Менли-Роу (8.54) и (8.55) следует, что независимо от вида нелинейности и нагрузки распределение мощности по комбинационным частотам определяется только величиной и знаками комбинационных частот.
Рис. 78. Параметрический усилитель. |
Пусть система с п степенями свободы состоит из идеальных фильтров Ф, настроенных на все возможные комбинационные частоты, и одинаковых сопротивлений R, а к фильтрам, настроенным на частоты w1 и wн, подключены, соответственно, источники сигнала и накачки (рис. 78). Простейший пример - регенеративный усилитель с одним дополнительным контуром, настроенным на частоту wн - w1. Тогда в соотношения Менли-Роу войдут три мощности: P10 - мощность накачки, P01 - мощность сигнала и P1(-1) - мощность, выделяемая в дополнительном контуре:
, . | (8.56) |
Естественно, что поступающая от генератора накачки мощность положительна, т. е. P10 > 0. Тогда из (8.56) следует, что
, , .
Эти неравенства показывают, что только часть мощности накачки поступает в дополнительный контур. Остальная часть, как видно из (8.56), идет в источник сигнала (P01 < 0), т. е. расходуется на его усиление. Система представляет собой регенеративный усилитель, охваченный положительной обратной связью, склонный к самовозбуждению и имеющий значительные шумы.
Нерегенеративный усилитель получается, если дополнительный контур настроен на частоту wн + w1 (преобразование вверх). Поэтому в соотношения Менли-Роу (8.54) и (8.55) будут входить мощности P10, P01 и мощность, рассеиваемая в дополнительном контуре P11. Эти соотношения примут вид:
, . | (8.57) |
Из цепи накачки в систему поступает мощность P10 > 0. Тогда из (8.57) следует, что P11 = -P10(wн + w1)/wн < 0, P01 = -P11w1/(wн + w1) > 0.
Это означает, что на управление нелинейной емкостью расходуется энергия как от источника накачки, так и от источника сигнала. В таком случае схема не способна к самовозбуждению. Максимальное усиление по мощности такого усилителя - преобразователя частоты - равен
, | (8.58) |
что согласуется с оценкой (7.30), если положить w2 = wн + w1.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 605;