Собственные колебания распределённых систем конечной длины


При исследовании колебательных процессов в распределённых системах конечной длины обычно используется метод Бернулли, т. е. решение разлагается по собственным функциям краевой задачи. Вид собственных функций существенно зависит от граничных условий, связывающих ток и напряжение или силу и смещение на границах системы.

Остановимся лишь на простейших случаях граничных условий, которые, однако, часто встречаются на практике.

Короткозамкнутому или разомкнутому концу соответствуют граничные условия вида

,  , (9.10)

где y - ток (для разомкнутой линии) или напряжение (для замкнутой линии).

Более общий случай граничных условий осуществляется в электрической линии, нагруженной на конце ёмкостью C0. Для напряжения на этой ёмкости и заряда справедливо следующее

.

Подставляя это соотношение в телеграфное уравнение (9.1), для линии без потерь получим:

.

Для конденсатора, включенного вначале линии в сечении x = 0, получаем

.

Если на конце линии включена индуктивность L0, то граничные условия запишутся так:

,  .

Объединяя рассмотренные выше типы граничных условий, получим общий вид граничных условий такого рода

,  . (9.11)

Волновое уравнение (9.2) с граничными условиями вида (9.10) или (9.11) удобно решать методом разделения переменных (метод Бернулли). Положим y(x, t) = j(x)T(t), тогда общее решение имеет вид

. (9.12)

Постоянные As и Bs определяются из начальных условий. Из решения (9.12) следует, что распределённые колебательные системы конечной длины имеют бесконечное множество собственных частот ws, каждой из которых соответствует определённая форма колебаний js.

Для двухпроводной линии, подставляя разложение (9.12) в волновое уравнение (9.2), получим:

. (9.13)

Общее решение уравнения (9.13) имеет вид

.

Если линия короткозамкнута на конце, то граничные условия вида (9.10) дают B = 0, wsl/v = ps, т. е.

. (9.14)

ws = psv/l, s = 1, 2, … - набор эквидистантных собственных частот, js(x) - собственные функции. Легко показать, что собственные функции, отвечающие различным собственным частотам, ортогональны:

, s ¹ q. (9.15)

Отметим, что ортогональность собственных (нормальных) колебаний - общее свойство распределенных систем и систем с многими степенями свободы.

Если система с распределёнными параметрами неоднородна, например, в середину длинной линии включен конденсатор, то эквидистантность собствен­ных частот нарушается, и собственные функции уже не синусоидальные, но их ортогональность (9.15) сохраняется. Пример такой системы - лазер. Активная среда, внесённая в резонатор Фабри-Перо (систему с распределёнными пара­метрами), нарушает эквидистантность собственных частот резонатора. Поэтому генерируемые моды становятся не синхронизируемыми.



Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 496;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.