Лазер как автогенератор
Примером автоколебательной системы с распределенными параметрами является оптический квантовый генератор - лазер. Распределенное отрицательное сопротивление в лазере создается активной средой с инверсной населенностью и существует в определенной полосе частот вблизи линии поглощения среды. Как правило, в пределах ширины линии люминесценции укладывается несколько собственных частот резонатора, поэтому лазер, в общем случае, генерирует ряд мод с частотами, близкими к собственным частотам резонатора.
Анализ работы лазера обычно проводится методом самосогласованного поля в полуклассическом приближении. Предполагается, что электромагнитное поле, воздействуя на активную среду, создает в ней поляризацию, которая, в свою очередь, является источником электромагнитного поля. При этом электромагнитное поле описывают классическими уравнениями Максвелла, а поляризацию среды, определяющую отрицательное нелинейное сопротивление, рассматривают на квантовом уровне. При таком подходе поляризация среды зависит не от мгновенного значения напряженности поля, а от его амплитуды, то есть лазер является автогенератором с инерциальной нелинейностью, аналогичным рассмотренному в пункте 6.2.
В простейшем случае оптического резонатора Фабри-Перро, образованного двумя плоскими зеркалами, расположенными на расстоянии l друг от друга, наибольшую добротность имеют аксиально симметричные моды колебаний. Электромагнитное поле таких колебаний медленно меняется в пространстве в направлении, параллельном зеркалам, а его поляризация сохраняется. Это позволяет ограничиться рассмотрением одномерного скалярного уравнения Максвелла, которое для проводящей немагнитной среды принимает вид
. | (9.24) |
Будем считать, что величина s характеризует все виды потерь энергии в оптическом резонаторе.
Напряжённость электрического поля можно представить в виде ряда по собственным функциям нормальных мод резонатора
, | (9.25) |
где kn = pn/l = 2p/ln - волновое число n-го нормального колебания. Такой вид нормальных колебаний соответствует граничным условиям E(0, t) = E(l, t) = 0, когда в точках z = 0 и z = l находятся зеркала с единичным коэффициентом отражения. Умножим уравнение (9.24) на sin(kmz) и проинтегрируем по z от 0 до l. Учитывая ортогональность собственных функций разложения (9.25) и граничные условия, получим
, | (9.26) |
где Qn - добротность резонатора на n-й моде, wn - частота n-й моды, Wn = pnc/l - собственная частота резонатора, Pn - пространственная фурье-компонента поляризации среды, равная
.
При достаточно высокой добротности резонатора и небольшой величины поляризации, когда лазер работает вблизи порога самовозбуждения, для решения уравнения (9.26) можно использовать метод ММА. Будем искать решение (9.26) в виде
, ,
где En(t), jn(t) - медленно меняющиеся за период 2p/wn амплитуда и фаза n-го колебания, Cn(t) и Sn(t) - медленно меняющиеся компоненты поляризации. В силу инерциальной нелинейности активной среды можно считать, что компоненты поляризации являются нечётными функциями амплитуд колебаний вида
, . | (9.27) |
Уравнения (9.27) являются материальными уравнениями нелинейной активной среды, в них опущены колебания комбинационных частот, не попадающие в полосы пропускания оптического резонатора. Коэффициенты уравнений (9.27) для двухуровневого газового лазера рассчитаны У. Лэмбом. С учетом этих соотношений укороченные уравнения для системы (9.26) принимают вид
, | (9.28) |
. | (9.29) |
Из уравнения (9.28), в частности, следует, что величина a0n определяет усиление активной среды на n-й моде колебаний для слабого сигнала. Поэтому условие самовозбуждения n-й моды можно записать в виде a0n > wn/(2Qn). При выполнении этого условия поступление энергии в систему превышает потери в резонаторе на соответствующей частоте.
Рассмотрим сначала случай возбуждения в системе только одной моды, единственной, для которой выполняется условие самовозбуждения. Уравнения (9.28) и (9.29) в этом случае принимают вид:
, .
Отсюда можно найти стационарную амплитуду и частоту генерации
, ,
где обозначено a = a0 - w/(2Q). Отметим, что амплитуда установившихся колебаний E0 тем больше, чем больше поступление энергии в систему превышает потери в ней. Кроме того, E0 зависит от коэффициента нелинейности b, как это имеет место и в одноконтурном автогенераторе (см. пункт 6.2). Этот коэффициент определяет уменьшение инверсной населённости, связанное с насыщением активной среды, вызванным колебаниями генерируемой моды. При малой амплитуде частота генерации w отличается от собственной частоты резонатора на величину . Коэффициент s пропорционален разности между собственной частотой резонатора и частотой спектральной линии атомного перехода. Поэтому он создаёт линейное подтягивание генерируемой частоты к частоте атомного перехода. Нелинейное слагаемое даёт зависящее от амплитуды смещение частоты генерации.
Если усиление активной среды превышает потери для двух собственных частот оптического резонатора, то возможна одновременная генерация двух независимых мод колебаний. В случае двухмодового режима укороченные уравнения (9.28) для амплитуд E1 и E2 принимают вид:
, . | (9.30) |
Здесь a1 = a01 - w1/(2Q1), a2 = a02 - w2/(2Q2) - коэффициенты, характеризующие превышение усиления над потерями для каждой из мод. Коэффициенты q12 и q21 определяют уменьшение инверсной населенности для каждой моды, вызванное колебаниями другой моды, т. е. эквивалентны коэффициентам связи.
Уравнения (9.30) удобно переписать для квадратов амплитуд , :
, . | (9.31) |
Система уравнений (9.31) имеет четыре стационарных решения:
; , ; , ; , . | (9.32) |
Первое решение соответствует отсутствию генерации, второе и третье - генерации одной моды. Четвертое решение описывает режим одновременной генерации двух мод.
Устойчивость стационарных решений можно определить стандартным методом, анализируя малые отклонения от стационарного состояния.
Коэффициенты b1 и b2 для активной среды всегда положительны. Если оба коэффициента a1 и a2 положительны, т. е. условия самовозбуждения выполнены для обеих мод, то режим покоя неустойчив. При a1/q12 > a2/b1 и a2/q21 < a1/b2 система генерирует одну моду с X = a1/b1, Y = 0. Вторая мода подавляется модой с большим коэффициентом усиления. Если же a1/q12 > a2/b1 и a2/q21 > a1/b2, то в системе могут существовать обе моды колебаний. При слабой связи b1b2 > q12q21 происходит одновременная генерация обеих мод.
Амплитуды и частоты этих колебаний в стационарном режиме в силу соотношений (9.29) и (9.32) имеют вид
, . | (9.33) |
, . | (9.34) |
Из формулы (9.34), в частности, следует, что частота каждого из колебаний зависит не только от его амплитуды, но и от амплитуды второго колебания.
Список рекомендуемой литературы[1]
1. Основы теории колебаний: Учеб. руководство/Под ред. В. В. Мигулина.- М.: Наука, 1988.- 392с.
2. Капранов М. В., Кулешов В. Н., Уткин Г. М. Теория колебаний в радиотехнике: Учебное пособие для вузов.- М.: Наука, 1984.- 320с.
[1] Конечно же, основным источником литературы для составления этого учебного пособия послужили лекции В. К. Игнатьева.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 526;