Вынужденные колебания в распределённых системах

По аналогии с вынужденными колебаниями в системах с многими степе­нями свободы удобно раскладывать и вынуждающую силу, и вынужденные колебания по собственным функциям системы. Если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы, то происходит резонансное увеличение амплитуды колебаний.

Рассмотрим разомкнутую на концах двух­проводную линию с потерями, в которой действует распределённая внешняя сила. Подставляя в первое уравнение системы (9.9) , , получим

,

(9.16)

где L, C, R - постоянные погонные параметры линии.

Пусть линия разомкнута на обоих концах, т. е. q(0, t) = q(l, t) = 0. Разложим внешнюю силу в ряд на интервале 0 £ x £ l по собственным функциям вида (9.14) разомкнутой на концах линии

,

(9.17)

а коэффициенты разложения найдём, используя условие (9.15) ортогональности собственных функций:

.

(9.18)

Естественно искать решение уравнения (9.16) также в виде ряда по собственным функциям линии с разомкнутыми концами

.

(9.19)

Подставим (9.17) и (9.19) в исходное уравнение (9.16):

, n = 1, 2, …

(9.20)

Получилась бесконечная система обыкновенных ДУ относительно Q_n(t). Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила U_n(t). Уравнения независимы, и поэтому Q_n(t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы U_n(t), то соответствующая координата Q_n(t) совершает только свободное затухающее колебание.

Решение уравнений (9.20) может быть записано через интеграл Дюамеля:

.

(9.21)

Здесь обозначено: , , .

Для гармонического синхронного и синфазного внешнего воздействия U_n(t) = U_n0exp(jw₀t) в установившемся режиме при t >> 1/d получаем

.

Суммируя по всем n, получим общее решение уравнения (9.20) в виде

.

(9.22)

Если частота внешнего воздействия w₀ совпадает с одной из собственных частот системы w_n, то наблюдается резонансное увеличение амплитуды.

В ча­стном случае, если гармоническое внешнее воздействие приложено в одной точке x = b, получаем:

,

где d(x) - дельта-функция. Определим коэффициенты разложения функции u₀(x, t)

.

Общее решение в этом случае будет иметь вид

.

(9.23)

Нетрудно видеть, что если b = l/n, т. е. внешняя сила приложена к узлу, то q(x, t). Это явление аналогично ортогональности вынуждающей силы на од­ной из собственных частот системы и собственного колебания на этой частоте для системы с многими степенями свободы.