Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот

Каждому нормальному колебанию с частотой w_s соответствует опреде­ленное распределение амплитуд по координатам, или определённая форма колебаний. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того, чтобы показать это, запишем уравнение (8.3) для s-й и r-й форм колебаний:

,  .

Умножим скалярно справа первое из этих уравнений на , а второе на . Учитывая, что матрицы и симметричны, т. е. , , вычтем из второго уравнения первое:

.

Если w_s ¹ w_r, то отсюда

.

(8.11)

С учётом формул (8.3) и (8.11) получаем также

.

(8.12)

Соотношения (8.11) и (8.12) называются условием ортогональности s-й и r-й форм нормальных колебаний. Использование условий ортогональности нормальных колебаний даёт возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с n степенями свободы. Покажем, например, что потенциальная энергия любого собственного колебания равна сумме потенциальных энергий всех собственных колебаний. Потенциальную энергию системы (8.1) в матричной форме можно записать в виде

.

Подставляя теперь выражение вида (8.10) и учитывая условие ортогональности (8.12), получим

.

(8.13)

Аналогично с учётом условия ортогональности (8.11) легко показать, что

.

(8.14)

Выражения (8.13) и (8.14) показывают, что в нормальных координатах и потенциальная, и кинетическая энергия являются диагональными квадратичными формами. Следовательно, систему с п степенями свободы можно представить как набор из п независимых систем с одной степенью свободы.

Зададим в момент времени t = 0 произвольное отклонение от положения равновесия системы . Пусть скорости изменения координат в тот же момент времени равны нулю, т. е. . Тогда из уравнения (8.9) следует, что колебание в системе в любой момент времени t > 0 можно записать в виде

,  .

(8.15)

Потенциальная и кинетическая энергия системы при этом с учетом формул (8.11) и (8.12) равны

,  .

При колебаниях в консервативной системе среднее по времени значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической энергии, т. е.

.

(8.16)

Расположим собственные частоты в порядке их возрастания:

.

Если заменить все квадратом наинизшей частоты , то (8.16) превращается в неравенство

.

(8.17)

Левая часть неравенства (8.17) является функцией амплитуд C_s, т. е. функцией начального распределения амплитуд по степеням свободы. Величина является минимумом левой части (8.17) как функции . Таким образом, используя соотношение (8.15), получим

.

(8.18)

Этот минимум достигается в том случае, когда все C_s, за исключением C₁, равны нулю. Тогда , т. е. распределение амплитуд по координатам совпадает с первой собственной формой колебания. Для нахождения второй собственной частоты w₂ следует выбрать начальное отклонение ортогональным первой собственной форме колебания, т. е.

и .

Тогда в выражении (8.16) суммирование начинается с s = 2 и самой низкой частотой окажется частота w₂. Приводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, получим

.

Минимум этого выражения достигается при , т. е. когда начальное распределение колебаний совпадает со второй собственной формой. Аналогичным образом можно найти все собственные частоты колебаний w_s и собственные формы (по индукции легко показывается, что все квадраты собственных частот являются экстремумами некоторых выраже­ний).

8.3. Вынужденные колебания в системе с n степенями свободы

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции колебаний. Поэтому задача о вынужденных колебаниях в системе под действием любой периодической силы сводится к нахождению вынужденных движений системы в результате действия гармонической силы частоты w. Если рассматриваемая система консервативна, то уравнение её колебаний в матричной форме принимает вид:

.

(8.19)

Вынужденные колебания системы должны быть гармоникой той же частоты

,

(8.20)

где - амплитудный вектор вынужденных колебаний. Подставляя решение (8.20) в (8.19), получим уравнение для амплитудного вектора

.

(8.21)

Таким образом, для отыскания выражения для вынужденного колебания в матричной форме необходимо обратить матрицу . Отметим, что в силу условия (8.5) в резонансе, т. е. при w = w_s, определитель этой матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица обращается в бесконечность.

Обращение матриц больших размеров - сложная задача, поэтому чаще используют другой метод - разлагают искомое решение по собственным колебаниям системы. Для этого амплитудный вектор разлагают по -векторам коэффициентов распределения амплитуды собственных колебаний системы:

.

(8.22)

Теперь задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов B_s. Внешнюю силу разложим следующим образом:

,

(8.23)

где f_s - коэффициенты разложения. Коэффициенты f_s можно найти, используя условие ортогональности (8.12). Умножая (8.23) слева скалярно на , запишем коэффициенты f_s в виде

.

(8.24)

Подставим теперь выражения (8.22) и (8.23) в уравнение (8.21), тогда

.

(8.25)

Умножим уравнение (8.25) слева на , используя условие ортогональности нормальных колебаний вида (8.12), получим выражение для коэффициентов B_s:

.

Отсюда, с помощью формулы (8.22), находим амплитуды вынужденных колебаний:

.

(8.26)

Из формулы (8.26) видно, что при w ® w_s, амплитуда вынужденных колебаний всех координат стремится к бесконечности, т. е. происходит резонансное возрастание амплитуды. Резонанса на частоте w_s не будет, если вектор внешней силы ортогонален s-му нормальному колебанию, когда в соответствии с соотношением (8.24) получается f_s = 0.

При наличии затухания расчёт колебаний для систем с n степенями свободы становится ещё более громоздким. Для диссипативных систем с затуханием типа вязкого трения можно вве­сти матрицу рассеяния энергии и решать матричное уравнение

.

(8.27)

Собственные колебания, соответствующие , линейной диссипативной системы (8.27) можно искать в виде

.

(8.28)

Подставляя (8.28) в (8.27), получим уравнение степени 2n для определения l

.

(8.29)

Так как уравнение (8.29) имеет действительные коэффициенты, то все его комплексные корни будут попарно сопряжёнными, т. е.

,  ,

где d_s и w_s - вещественные числа. Для диссипативной системы, не содержащей внутренних источников энергии, все d_s < 0. Общий вид свободных колебаний:

.

(8.30)

Для вынужденных колебаний по-прежнему разлагаем силу по векторам вида (8.23), а амплитуду вынужденных колебаний - по векторам нормальных колебаний вида (8.22). Тогда

.

(8.31)

Таким образом, при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы наблюдается резонанс. Однако амплитуда вынужденных колебаний при резонансе остается ограниченной, как и при резонансе в диссипативной системе с одной степенью свободы.