Корневые оценки запасов устойчивости

Склонность системы к неустойчивой работе выражается в большой колебательности процессов в ней, следовательно, процесс 2 на рис 5.18 соответствует системе с меньшим запасом устойчивости.

Рис. 5.18 - Процессы в системе с разным запасом устойчивости

Вид процессов в системе определяется корнями характеристического уравнения (5.4) (см. рис. 5.19), причем колебательный характер придают комплексно-сопряженные корни , где вещественная часть (α_i) определяет скорость затухания, а мнимая часть корней (β_i) - частоту колебаний.

Рис. 5.19 - Распределение корней в системе

Пара корней с самым широким сектором будет давать составляющую процесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки устойчивости используем величину (5.34)

, (5.34)

которая может изменяться в диапазоне . Чем меньше γ (т.е. больше мнимая часть корня), тем ближе система к границе устойчивости. При γ =0 она находится на границе устойчивости, если же γ=∞, система будет абсолютно устойчива.

Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости γ характеризует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения без потери устойчивости системой.

Обычно такая оценка используется на этапе проектирования, так как α трудно связать с параметрами реальной системы (коэффициентом усиления, постоянными времени, коэффициентом демпфирования).

5.4.4 Метод D-разбиения

На практике бывает необходимо знать не только запас, который можно оценить с помощью какого-либо критерия устойчивости, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно

. (5.35)

В (5.35) заменим p на jω и получим уравнение

, (5.36)

соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (5.24). Разрешим его относительно D (5.37)

. (5.37)

Полученное комплексное представление параметра D позволяет изобразить его в виде вектора на плоскости {R_D(ω);I_D(ω)}. Конкретное численное значение D(jω) зависит от частоты и при изменении ω в диапазоне от -∞ до +∞ конец вектора описывает на комплексной плоскости кривую D-разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать так же, как отображение мнимой оси плоскости корней).

Рис. 5.20 - Иллюстрация построения кривой D-разбиения

Эта кривая симметрична относительно вещественной оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую часть получить зеркальным отображением относительно вещественной оси.

Кривая D разбивает плоскость параметра на несколько областей с различным условием устойчивости, для определения которого необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и так далее), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(jω) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D-разбиения применим и в случае построения области устойчивости для двух параметров D₁ и D₂, которые входят линейно в характеристическое уравнение (5.38)

. (5.38)

В этом случае уравнение границы устойчивости

(5.39)

распадается на два независимых уравнения, соответствующих равенству нулю вещественной и мнимой части (5.39):

(5.40)

Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра D.

Пример.Определить область устойчивости системы по коэффициенту усиления (рис. 5.21).

Рис. 5.21 - Структурная схема системы

Решение. Определим передаточную функцию замкнутой системы

и запишем ее характеристическое уравнение

.

Здесь k - параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и сделаем замену p на jω.

В результате получим уравнение для кривой D-разбиения

.

Вычислим значения вещественной и мнимой части D(jω) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу:

Для построения кривой D-разбиения при отрицательных значениях частоты полученную половину D(jω) зеркально отобразим относительно оси абсцисс.

Рис. 5.22 - Кривая D-разбиения для исследуемой системы

Как видим на рис. 5.22, кривая D-разбиения разделила плоскость параметра на две области. Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость системы второго порядка, необходимым и достаточным условием устойчивости которой является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область - есть область устойчивости (-1 < k < ∞).