Критерий устойчивости Михайлова
Частотный, графоаналитический критерий Михайлова применяется при исследовании замкнутых, линейных систем с постоянными параметрами. Он был сформулирован А.В. Михайловым в 1936 году и базируется на анализе поведения аргумента ПФ. При этом для анализа устойчивости рассматривается характеристический комплекс системы , который получается из характеристического полинома (5.4):
(5.13)
заменой р на jω и имеет вид
(5.14)
где можно выделить вещественную и мнимую части, а также амплитуду и фазу:
(5.15)
Для конкретного численного значения ω=ω1 характеристический комплекс представляет собой комплексное число , которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой .
При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова. Причем начинается годограф, как следует из соотношения (5.14), в точке с координатами .
Рис. 5.4 - Годограф Михайлова
Формулировка критерия. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ начинался на вещественной оси в точке a0 и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к ∞ в n-м квадранте.
Доказательство.Утверждение основано на расположении годографа Михайлова на комплексной плоскости, поэтому проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения с видом функции F(jω). Поскольку полином (5.13) можно представить как произведение простейших сомножителей
, (5.16)
характеристический комплекс (5.14) также принимает вид:
. (5.17)
Его можно представить в форме:
(5.18)
Из выражений (5.15) и (5.18) следует, что
(5.19)
(5.20)
Если характеристическое уравнение системы содержит чисто мнимые корни, то, как следует из (5.19), при определенном значении частоты ω=ω0, так как при этом один из сомножителей обратится в ноль. В случае устойчивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в ноль годограф Михайлова устойчивой системы не обращается.
Определим теперь угол поворота вектора F(ω) при изменении частоты от 0 до ω. Поскольку в соответствии с (5.20) есть сумма отдельных , то рассмотрим угол поворота каждого сомножителя выражения (5.17).
Корень характеристического уравнения вещественный и отрицательный . Соответствующий сомножитель в (5.17) имеет вид . Изобразим этот элементарный вектор на комплексной плоскости; при изменении ω от 0 до ∞ его вещественная часть остается неизменной и равна аi, а его мнимая часть возрастает до бесконечности (рис. 5.5).
Рис. 5.5 - Элементарный вектор, соответствующий
параметрам устойчивого вещественного корня
Как видим, угол поворота элементарного вектора, соответствующего устойчивому вещественному корню, равен .
Если корень характеристического уравнения вещественный положительный , то угол поворота элементарного вектора равен .
Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно-сопряженных корней и соответствующий им угол поворота произведения .
Рис. 5.6 - Векторы, соответствующие устойчивым
комплексно-сопряженным корням
У этих двух векторов начальные фазы одинаковы по модулю φ0, но имеют противоположные знаки. При изменении ω от 0 до ∞ один вектор поворачивается на угол, равный , а второй - на угол .
Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-сопряженных корней равен +π.
Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равен –π.
Таким образом, в устойчивой системе каждый из п корней даст приращение фазы , а общий угол поворота F(ω) согласно (5.20) равен +(π/2)n, что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем третьего порядка показан на (рис. 5.7).
Рис. 5.7 - Годограф Михайлова для устойчивых и неустойчивых
систем третьего порядка
Система будет находиться на границе устойчивости, если годограф Михайлова при некотором значении частоты ω=ω0 обращается в ноль, т.е. при выполнении условия
(5.21)
Здесь частота ω0 - есть частота незатухающих колебаний системы.
Пример.Оценить устойчивость системы, структурная схема которой имеет вид
Рис. 5.8 - Структурная схема системы
Решение. Определим передаточную функцию системы
и запишем ее характеристический полином
.
Заменой р на jω перейдем к выражению для годографа Михайлова
,
которое представим в форме
.
Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу
ω | 1,22 | 1,41 | … | ∞ | ||
RF(ω) | -1 | … | -∞ | |||
IF(ω) | 0,61 | … | -∞ |
По данным таблицы построим годограф Михайлова
Рис. 5.9 - Годограф Михайлова
Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в ноль, и стремится кбесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 485;