Критерий устойчивости Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица находит широкое применение при анализе систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы. Кроме того, он позволяет получить аналитическое выражение (выражения) для границ области возможных значений какого-либо параметра (параметров) системы, при которых сохраняется устойчивое состояние системы.

Это алгебраический критерий, который предполагает рассмотрение характеристического уравнения (5.4) в стандартной форме

.

Из его коэффициентов по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной диагонали сверху вниз вписываются коэффициенты характеристического уравнения от a_n-1 до a₀ включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора Лапласа - р, вверх - при убывающих степенях р. Недостающие элементы в столбце заполняются нулями. Либо в каждой строке справа от главной диагонали располагаются коэффициенты при убывающих через одну степенях p, слева от главной диагонали располагаются коэффициенты при возрастающих через одну степень оператора Лапласа p - ( , , ,…).

(5.10)

dim H=n × n. Приведем без доказательства критерий Гурвица.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 все n определителей, получаемых из матрицы Гурвица Н, были положительны.

Где ;

;

; (5.11)

.

Условие границы устойчивости согласно критерию Гурвица имеет вид:

(5.12)

Пример.Оценить устойчивость системы 3-го порядка, передаточная функция которой имеет вид

.

Запишем характеристическое уравнение согласно (5.4)

и составим матрицу Гурвица для этой системы 3^го порядка (5.10)

.

Условия устойчивости системы в соответствии с критерием Гурвица и (5.11) следующие:

1) ;

2) ;

3) или .

Поскольку положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, то условие устойчивости системы 3-го порядка принимает вид:

.