Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно имеет вид (2.12.)

где некоторые непрерывные функции от переменной

Такие уравнения обычно решаются методом Бернулли. При этом выполняется замена: (2.13.)

Тогда получаем:

Далее группируют второе и третье слагаемые: и находят такое частное решение , которое обращает выражение в скобках в ноль.

Заметим, что произвольную постоянную "с" здесь не записывают.

Решение подставляют в уравнение, помеченное знаком , и находят переменную , в которую записывают произвольную постоянную "с".

Затем составляют решение

ПРИМЕР 2.10. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ. Разделив обе части на , получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Замена: Получаем:

Подставляем в уравнение :

Следовательно - общее решение.

ПРИМЕР 2.11. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Выполняем замену

Подставляем в и находим :

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

ПРИМЕР 2.12.

Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Выполняем замену

Окончательно:

2.2.7. Уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли имеет вид : , (2.14.)

где - рациональное число

Оно решается методом Бернулли, рассмотренным в 3.2.6.

ПРИМЕР 2.13. Решить дифференциальное уравнение

РЕШЕНИЕ. Имеем уравнение Бернулли.

Выполняем замену

.

Подставляем в уравнение, помеченное знаком

+

Таким образом,

<2 3 456 7 8 >

Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 376;